Lösung von Aufgabe 1.4 (WS 16 17)

Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen identisch sind und welche Teilmengenbeziehungen bestehen.

$S_1:$ Menge aller Vierecke mit vier kongruenten Winkeln

$S_2:$ Menge aller Vierecke mit gleich langen, einander halbierenden Diagonalen

$S_3:$ Menge aller Vierecke mit zwei Paaren paralleler Gegenseiten und einem rechten Winkel

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$S_1 = S_2 = S_3 = \text{Menge aller Rechtecke}$

Zu $S_1$: Laut des Innenwinkelsatzes für Vierecke beträgt die Summe der Innenwinkel $360^\circ$, somit hat ein Dreieck mit vier gleich großen Winkeln („kongruent“ kenne ich nur für geometrische Figuren, bei Winkeln hört sich das für mich komisch an) vier Winkel mit je $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$, ist also ein Rechteck. Zu $S_2$: Vierecke mit gleich langen sich halbierenden Diagonalen werden von den Diagonalen in vier Dreiecke mit den folgenden Eigenschaften aufgeteilt:

• Alle vier Dreiecke sind gleichschenklig, da die Diagonalen und somit auch die Diagonalhälften gleich lang sind.
• Fasst man zwei nebeneinander liegende Dreiecke zu einem großen Dreieck zusammen, ergibt sich die Innenwinkelsumme aus den beiden gleich großen Basiswinkeln $\alpha$ des einen Dreiecks plus den beiden gleich großen Basiswinkeln des anderen Dreiecks $\beta$ als $2 \cdot \alpha + 2 \cdot \beta = 180^\circ \iff \alpha + \beta = 90^\circ$. Da ein Winkel des großen Dreiecks sich aus $\alpha \text{ und } \beta$ zusammensetzt, ist das große Dreieck also ein rechtwinkliges Dreieck. Da das für alle Paarungen von nebeneinanderliegenden Dreiecken gilt, sind die vier Innenwinkel des gesamten Vierecks rechtwinklig
• Das Viereck ist also ein Rechteck

Zu $S_3$: Da das Viereck zwei Paare paralleler Gegenseiten besitzt, ist es also ein Parallelogramm. Im Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel immer auf $180^\circ$, also müssen die benachbarten Winkel eines rechten Winkels ebenfalls rechte Winkel sein. Und der vierte Winkel ist dann wieder ein Nachbarwinkel, beträgt also ebenfalls $90^\circ$.

(Diese drei Absätze zeigen nur, dass gilt: $S_i \subseteq \{x | x \text{ ist ein Rechteck} \}\text{ für } i \in \{1,2,3\}$. Die Umkehrung gilt zwar ebenso, auf den Beweis der Umkehrung verzichte ich an dieser Stelle aber.)

--AlanTu (Diskussion) 19:47, 24. Okt. 2016 (CEST)

Hallo AlanTu, 

deine Lösung ist richtig. Hier eine kleine Anmerkung noch:
Kongruenz meint in diesem Sinne deckungsgleich. 

Kannst du durch eine (Verkettung von) Deckabbildungen / Kongruenzabbildungen, wie Drehung, Spiegelung oder Parallelverschiebung
die Winkel deckungsgleich bekommen? Stichwort: Kongruenz des Winkelmaß und der Seitenlängen. 

Gruß Alex--Tutor: Alex (Diskussion) 19:48, 27. Okt. 2016 (CEST)