Auftrag der Woche 4 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. November 2016, 14:38 Uhr

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Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.

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Inhaltsverzeichnis

1 Lösung von AlanTu
- 1.1 Konstruktionsbeschreibung
- 1.2 Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist
2 Lösung von Tutor Alex
3 2. Lösung von AlanTu

Lösung von AlanTu

Wenn man den Haken bei „Spur“ setzt, erscheint nach und nach die Mittelsenkrechte.

Konstruktionsbeschreibung

Gegeben seien zwei Punkte $A$ und $B$ . Gesucht ist $M:=\{Q|\overline{AQ}\cong\overline{QB}\}$ .

Sei $r\in\mathbb{R}$ fest aber beliebig.

Zeichne einen Kreis $c_r$ mit Radius $r$ um $A$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $A$ ).
Zeichne einen Kreis $d_r$ mit Radius $r$ um $B$ (die Menge der Punkte mit Abstand $r$ von $B$ ).
Bestimme (die Menge der Punkte mit Abstand sowohl von als auch von ) folgendermaßen:
1. Falls kein Schnittpunkt von $c$ und $d$ : Es sei $M_r=\{\}$ .
2. Falls ein Schnittpunkt von $c$ und $d$ : Nenne den Schnittpunkt $Q$ , es sei $M_r=\{Q\}$ .
3. Falls zwei Schnittpunkte von $c$ und $d$ : Nenne die beiden Schnittpunkte $Q_r^1$ und $Q_r^2$ , es sei $M_r=\{Q_r^1,Q_r^2\}$ .

$M$ ergibt sich nun aus der Vereinigung aller $M_r$ für $r\in\mathbb{R}$ , also: $M = \bigcup\limits_{r\in\mathbb{R}}{M_r}$

Begründung, warum die Menge genau die Mittelsenkrechte ist

Betrachtet man nun $r=\frac{\overline{AB}}{2}$ : $Q$ ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$ , da er den selben Abstand von beiden Punkten hat.

Betrachtet man nun $r\in\mathbb{R} \wedge r > \overline{QA}$ :

Das Viereck $AQ_r^1BQ_r^2$ bildet eine Raute mit Seitenlänge $r$ .
Da die Diagonalen der Raute sich sowohl halbieren, als auch senkrecht aufeinander stehen, liegen $Q_r^1$ und $Q_r^2$ auf der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$ .
Nach dem Satz des Pythagoras ergibt sich $\overline{QQ_r^1} = \overline{QQ_r^2} = \sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ und da $f(r)=\sqrt{r^2 - \overline{QA}^2}$ für $r > \overline{QA}$ genau einen Wertebereich von $(0,\infty)$ besitzt, ergibt die Vereinigung aller $M_r$ genau die Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ ohne den Mittelpunkt von $A$ und $B$ .

Nimmt man also beide Fälle zusammen ergibt sich genau die komplette Mittelsenkrechte von $A$ und $B$ .

Lösung von Tutor Alex

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2. Lösung von AlanTu

Konstruiere nach folgender Konstruktionsanleitung jeweils für jeden Winkel $0\leq\alpha<180^\circ$ jeweils einen Punkt $Q$ :

Wähle zwei Punkte $A'$ und $B'$ beliebig, sodass gilt: $\measuredangle{A'BA} = \measuredangle{BAB'} = \alpha$ .
Nenne den Schnittpunkt der Geraden $AB'$ und $BA'$ $Q$ .
Die Punkte $A$ , $B$ und $Q$ bilden dann ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $AB$ .

Die Menge aller so konstruierten Punkte $Q$ ist genau $M$ , da es genau dann ein solches gleichschenkliges Dreieck gibt, wenn $Q$ den selben Abstand von $A$ und $B$ hat. Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von $A$ und $B$ ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.

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 Die Lösung ist korrekt, die Skizze aus didaktischer Sicht suboptimal. Generieren Sie mit Geogebra eine dynamische Applikation, die die korrekte Lösung besser als die obige Skizze unterstützt.
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 ===2. Lösung von AlanTu===
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+Konstruiere nach folgender Konstruktionsanleitung jeweils für jeden Winkel <math>0\leq\alpha<180^\circ</math> jeweils einen Punkt <math>Q</math>:
+* Wähle zwei Punkte <math>A'</math> und <math>B'</math> beliebig, sodass gilt: <math>\measuredangle{A'BA} = \measuredangle{BAB'} = \alpha</math>.
+* Nenne den Schnittpunkt der Geraden <math>AB'</math> und <math>BA'</math> <math>Q</math>.
+* Die Punkte <math>A</math>, <math>B</math> und <math>Q</math> bilden dann ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis <math>AB</math>.
+Die Menge aller so konstruierten Punkte <math>Q</math> ist genau <math>M</math>, da es genau dann ein solches gleichschenkliges Dreieck gibt, wenn <math>Q</math> den selben Abstand von <math>A</math> und <math>B</math> hat.
+Dass die Menge ebenfalls gleich der Mittelsenkrechten von <math>A</math> und <math>B</math> ist, lässt sich leicht einsehen, wenn man weiß, dass die Höhe über der Basis von gleichschenkligen Dreiecken immer auf der Mittelsenkrechten der Basis liegt.
 [[Kategorie:Geo_P]]

Auftrag der Woche 4 (WS 16 17): Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 17. November 2016, 14:38 Uhr

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