Beispiele für Gruppen

endliche Gruppen

Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

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Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute

unendliche Gruppen

Gebrochene Zahlen:

Ganze Zahlen:

Gegenbeispiele für Gruppen

Gruppendefinitionen

Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version)

Definition 1a: (Gruppe Langfassung)

Es sei eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung .
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur Gruppe:

1. ist auf abgeschlossen:
2. ist assoziativ auf :
3. Bezüglich existiert in ein ("universelles") Einslement : .
4. Bezüglich existiert zu jedem aus ein ("persönliches") inverses Element : .

Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version)

Definition 1b: (Gruppe, Kurzfassung)

Es sei eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung .
Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur Gruppe:

1. ist auf abgeschlossen:
2. ist assoziativ auf :
3. Bezüglich existiert in ein ("universelles") Einslement : .
4. Bezüglich existiert zu jedem aus ein ("persönliches") inverses Element : .

Ordnung einer Gruppe

Definition 2:(Gruppenordnung)

Unter der Ordnung einer Gruppe versteht man die Anzahl ihrer Elemente.

Halbgruppe

Eine Menge auf der eine Verknüpfung definiert ist, heißt Halbgruppe, wenn abgeschlossen auf und assoziativ ist.
Bemerkung: Tutor Alex wies darauf hin, dass die Menge auch die leere Menge sein darf. Er hat recht. Ich habe das geändert.--*m.g.* (Diskussion) 16:43, 14. Mai 2017 (CEST) (Bitte dazu in die Diskussion schauen!)

Monoid

Eine Halbgruppe mit Einselement heißt Monoid.

Das Linkseinslement ist auch Rechtseinselement

Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement multipliziert eben dieses Element das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird. Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente.
Es gilt der Satz:

Satz 1

Wenn in einer Halbgruppe ein linksseitiges Einselement und zu jedem Element der Halbgruppe ein linksseitiges inverses Element existiert, so sind dieses Linkseinselement und diese Linksinversen gleichzeitig Rechtseinselement und Rechtsinverse.

Beweis von Satz 1

Übungsaufgabe, Hinweise

1. Beginnen Sie mit Linksinvers=Rechtsinvers
2. Multiplizieren Sie zunächst das Linksinverse eines beliebigen Elementes von rechts mit :
3. Ersetzen Sie durch
4. Ersetzen Sie durch das Produkt des Linksinversen vom Linksinversen von mit dem Linksinversen von : .
5. Der Rest ist geschicktes Klammern und Ausnutzung der Assoziativität...