Serie 2 Untergruppen SoSe 2017: Unterschied zwischen den Versionen

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Es sei <math>[G, \otimes]</math> eine Gruppe und <math>g \in G</math> mit <math>|g|=n</math>.<br />
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<math>U</math> sei die Menge aller Potenzen <math>g^i</math> mit <math>0<j\leq n</math>. Beweisen Sie: <math>[U, \otimes]</math> ist Untergruppe von <math>[G,\otimes]</math>.
 
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Version vom 14. Mai 2017, 17:20 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Serie 2 Untergruppen SoSe 2017

Aufgabe 2.1

Es seien [G, \odot] und [U,\otimes] zwei Gruppen mit U \subset G. Warum ist [U,\otimes] keine Untergruppe von [G, \odot]?

Aufgabe 2.2

Es sei [U, \otimes] eine Untergruppe von [G, \otimes] nach Definition 6.
Beweisen Sie:

(I) \forall a, b \in U: a \otimes b \in U,
(II) \forall a \in U: a^{-1} \in U.

Aufgabe 2.3

Es sei [G, \otimes] eine Gruppe und U eine nichtleere Teilmenge von G.
Beweisen Sie:

Wenn
(I) \forall a, b \in U: a \otimes b \in U und
(II) \forall a \in U: a^{-1} \in U
dann
ist [U, \otimes] eine Untergruppe von [g, \otimes] entsprechend Definition 6.

Aufgabe 2.4

Beweisen Sie Satz 3.

Aufgabe 2.5

Es sei [G, \otimes] eine Gruppe und g \in G mit |g|=n.
U sei die Menge aller Potenzen g^i mit 0<j\leq n. Beweisen Sie: [U, \otimes] ist Untergruppe von [G,\otimes].

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