Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen
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===Eindeutigkeitsbeweis=== | ===Eindeutigkeitsbeweis=== | ||
Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math> | Es seien <math>x_1</math> und <math>x_2</math> Lösungen der Gleichung <math>a \odot x= b</math>. Damit folgt <math>a \odot x_1 = a \odot x_2</math>. Nach Satz 5 gilt <math>x_1=x_2</math> | ||
+ | =Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine Gruppe= | ||
+ | ==Satz 7== | ||
+ | Es sei <math>[M, \odot]</math> ein Monoid. <math>e</math> sei das Einslement dieses Monoids. Wenn die Gleichungen | ||
+ | # <math>a \odot x = b</math> und | ||
+ | # <math>y \odot a = b</math> | ||
+ | in <math>[M, \odot ]</math>lösbar sind, dann ist das Monoid sogar eine Gruppe. | ||
+ | ==Beweis von Satz 7== | ||
+ | Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element <math>a \in M</math> ein Inverses in <math>M</math> existiert. Wegen der Lösbarkeit der Gleichungen 1 und 2 sind auch die Gleichungen <br /> | ||
+ | * <math>a \odot x = e</math> und | ||
+ | * <math>y \odot a = e</math> | ||
+ | lösbar. | ||
<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> | <!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben ---> |
Version vom 25. November 2017, 15:42 Uhr
Eindeutigkeit des EinslementesSatz 3Jede Gruppe hat genau ein Einslement. Beweis von Satz 3Es sei Eindeutigkeit der inversen ElementeSatz 4In jeder Gruppe Beweis von Satz 4Es sei Die triviale Gleichung
KürzbarkeitSatz 5Es sei Beweis von Satz 5Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit Lösbarkeit der GleichungenSatz 6In jeder Gruppe
jeweils eindeutig lösbar. Beweis von Satz 6Wir führen den Beweis nur für die Gleichung ExistenzbeweisWir setzen EindeutigkeitsbeweisEs seien Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind ist eine GruppeSatz 7Es sei
in Beweis von Satz 7Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element
lösbar. |