Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die dritte Sitzung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 14. Juli 2010, 14:32 Uhr

Entsprechend Abbildung 1 wird der Punkt $\ P$ der Reihe nach durch die Drehstreckungen

$\delta_1 = DS_{Z, \alpha_1, k_1}$ ,

$\delta_2 = DS_{Z, \alpha_2, k_2}$ ,

$\delta_3 = DS_{Z, \alpha_3, k_3}$ ,

auf die Punkte $\ P^'$ , $\ P^{''}$ und schließlich auf $\ P^{'''}$ abgebildet.

Abbildung 1

Es möge $\overline{ZP} \cong \overline{PP^'} \cong \overline{P^'P^{''}} \cong \overline{P^{''}P^{'''}}$ gelten.

Berechnen Sie die Streckfaktoren $\ k_1, k_2, k_3$ . Begründen Sie Ihre Überlegungen.
Berechnen Sie den Streckfaktor $\ k$ der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung $\delta_3 \circ \delta_2 \circ \delta_1$ entsteht (erst $\ \delta_1$ , dann $\ \delta_2$ , dann $\ \delta_3$ ).
Beweisen Sie: $\alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .
Wir betrachten die Drehstreckung $\phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1$ (erst $\ \delta_1$ dann $\ \delta_2$ ). Das Bild $\ A^'$ eines beliebigen Punktes $\ A$ bei $\ \phi$ soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
Die Idee der Konstruktion der Punkte $\ P^'$ , $\ P^{''}$ , $\ P^{'''}$ wurde der Spirale des Theodorus nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte $\ P^{''''}$ , $\ P^{'''''}$ ,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen).

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 # Beweisen Sie: <math> \alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}</math>.
 # Wir betrachten die Drehstreckung <math> \phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1</math> (erst <math>\ \delta_1</math> dann <math>\ \delta_2</math>). Das Bild <math>\ A^'</math> eines beliebigen Punktes <math>\ A</math> bei <math>\ \phi</math> soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
+# Die Idee der Konstruktion der Punkte <math>\ P^'</math>, <math>\ P^{''}</math>, <math>\ P^{'''}</math> wurde der ''Spirale des Theodorus'' nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte <math>\ P^{''''}</math>, <math>\ P^{'''''}</math>,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen).