Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die dritte Sitzung

Entsprechend Abbildung 1 wird der Punkt $\ P$ der Reihe nach durch die Drehstreckungen

$\delta_1 = DS_{Z, \alpha_1, k_1}$,

$\delta_2 = DS_{Z, \alpha_2, k_2}$,

$\delta_3 = DS_{Z, \alpha_3, k_3}$,

auf die Punkte $\ P^'$, $\ P^{''}$ und schließlich auf $\ P^{'''}$ abgebildet.

Abbildung 1

Es möge $\overline{ZP} \cong \overline{PP^'} \cong \overline{P^'P^{''}} \cong \overline{P^{''}P^{'''}}$ gelten.

1. Berechnen Sie die Streckfaktoren $\ k_1, k_2, k_3$. Begründen Sie Ihre Überlegungen.
2. Berechnen Sie den Streckfaktor $\ k$ der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung $\delta_3 \circ \delta_2 \circ \delta_1$ entsteht (erst $\ \delta_1$, dann $\ \delta_2$ , dann $\ \delta_3$).
3. Beweisen Sie: $\alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}$.
4. Wir betrachten die Drehstreckung $\phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1$ (erst $\ \delta_1$ dann $\ \delta_3$). Das Bild $\ A^'$ eines beliebigen Punktes $\ A$ bei $\ \phi$ soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
5. Die Idee der Konstruktion der Punkte $\ P^'$, $\ P^{''}$, $\ P^{'''}$ wurde der Spirale des Theodorus [1] nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte $\ P^{''''}$, $\ P^{'''''}$,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke $\overline{ZP^{''''''''''''}}$ ($\ P$ zwölffach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift.

Lösung