Übungsaufgabe zur Vorbereitung auf die dritte Sitzung: Unterschied zwischen den Versionen
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# Beweisen Sie: <math> \alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}</math>. | # Beweisen Sie: <math> \alpha_1 = 45^\circ , \alpha_3 = 30^\circ , \tan \left( \alpha_2 \right)= \frac{1}{2} \sqrt{2}</math>. | ||
# Wir betrachten die Drehstreckung <math> \phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1</math> (erst <math>\ \delta_1</math> dann <math>\ \delta_2</math>). Das Bild <math>\ A^'</math> eines beliebigen Punktes <math>\ A</math> bei <math>\ \phi</math> soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat. | # Wir betrachten die Drehstreckung <math> \phi = DS_{Z, \beta, k} = \delta_3 \circ \delta_1</math> (erst <math>\ \delta_1</math> dann <math>\ \delta_2</math>). Das Bild <math>\ A^'</math> eines beliebigen Punktes <math>\ A</math> bei <math>\ \phi</math> soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat. | ||
− | # Die Idee der Konstruktion der Punkte <math>\ P^'</math>, <math>\ P^{''}</math>, <math>\ P^{'''}</math> wurde der ''Spirale des Theodorus'' nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte <math>\ P^{''''}</math>, <math>\ P^{'''''}</math>,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke <math>\overline{ZP^{''''''''''''}}</math> (<math>\ P</math> zwölffach gestrichen)? | + | # Die Idee der Konstruktion der Punkte <math>\ P^'</math>, <math>\ P^{''}</math>, <math>\ P^{'''}</math> wurde der ''Spirale des Theodorus'' nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte <math>\ P^{''''}</math>, <math>\ P^{'''''}</math>,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke <math>\overline{ZP^{''''''''''''}}</math> (<math>\ P</math> zwölffach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift. |
Version vom 14. Juli 2010, 14:35 Uhr
Entsprechend Abbildung 1 wird der Punkt der Reihe nach durch die Drehstreckungen
,
,
,
auf die Punkte , und schließlich auf abgebildet.
Abbildung 1
Es möge gelten.
- Berechnen Sie die Streckfaktoren . Begründen Sie Ihre Überlegungen.
- Berechnen Sie den Streckfaktor der Drehstreckung, die durch die Nacheinanderausführung entsteht (erst , dann , dann ).
- Beweisen Sie: .
- Wir betrachten die Drehstreckung (erst dann ). Das Bild eines beliebigen Punktes bei soll nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Geben Sie eine entsprechende Konstruktionsvorschrift an. Begründen Sie die Korrektheit Ihrer Konstruktionsvorschrift. Beachten Sie, dass bei Zirkel und Lineal-Konstruktionen das Lineal keine verfügbare Skala zum Messen hat.
- Die Idee der Konstruktion der Punkte , , wurde der Spirale des Theodorus nachempfunden. Wir stellen uns vor, das Verfahren zur Konstruktion weiterer Punkte , ,… wird analog fortgesetzt (Theodorus wurde nach 17maliger Ausführung der Konstruktion unterbrochen). Welche Länge hätte die Strecke ( zwölffach gestrichen)? Geben Sie die Konstruktionsvorschrift einer einfacheren Konstruktion für eine Strecke mit einer derartigen Länge an und begründen Sie diese Vorschrift.