Lösung von Aufgabe 12.6: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Geometrie-Wiki
Nicola (Diskussion | Beiträge) |
|||
| Zeile 3: | Zeile 3: | ||
== Versuch 1 == | == Versuch 1 == | ||
| − | VSS: Punkt <math> P </math>, Gerade <math> g </math>, <math>P \not \in g </math><br /> | + | VSS: Punkt <math>\ P </math>, Gerade <math>\ g </math>, <math>P \not \in g </math><br /> |
| − | Beh: Gerade <math> h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g | + | Beh: Gerade <math>\ h </math>, <math>P \in h</math>, <math>g \| h </math> |
| Zeile 18: | Zeile 18: | ||
|- | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ! style="background: #FFDDDD;"|(II) | ||
| − | | Gerade PQ | + | | Gerade <math>\ PQ</math> |
| (Axiom I.1) | | (Axiom I.1) | ||
|- | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ! style="background: #FFDDDD;"|(III) | ||
| − | | das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>P </math> an Gerade <math>PQ </math> in der Halbebene <math>{PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>{PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>|\alpha{'}| | + | | das Maß von <math> | \angle PQR| = \alpha </math> im Punkt <math>\ P </math> an Gerade <math>\ PQ </math> in der Halbebene <math>\ {PQ,R^{+}}</math> abtragen. Es exisitert genau ein <math>\ {PS^{+}}</math> mit dem Maß <math>\ |\alpha{'}| = | \alpha| </math> |
| (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) | | (Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) | ||
|- | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ! style="background: #FFDDDD;"|(IV) | ||
| − | | <math>\alpha | + | | <math>\ \alpha' , \alpha </math> sind Stufenwinkel |
| (III), (Def. Stufenwinkel) | | (III), (Def. Stufenwinkel) | ||
|- | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
| − | | <math>PS </math> = <math> h </math> | + | | <math>\ PS </math> = <math>\ h </math> |
| (Axiom I.1) | | (Axiom I.1) | ||
|- | |- | ||
! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ! style="background: #FFDDDD;"|(V) | ||
| − | | <math>g | + | | <math>\ g \| h </math> |
| (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) | | (Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) | ||
|} | |} | ||
| Zeile 43: | Zeile 43: | ||
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit. | Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit. | ||
| − | Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten: | + | <br />Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten: |
| − | + | ||
| − | + | #Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung | |
| − | + | #Fall: schneidet h | |
| − | Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade. | + | #Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei |
| − | Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt. | + | <br />Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade. |
| − | Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind. | + | <br />Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt. |
| − | (1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei. | + | <br />Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind. |
| + | <br />(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei. | ||
--[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC) | --[[Benutzer:Nicola|Nicola]] 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC) | ||
Version vom 14. Juli 2010, 23:27 Uhr
Beweisen Sie: Wenn 
ein Punkt außerhalb der Geraden 
ist, dann gibt es eine Gerade 
, die durch geht und parellel zu ist.
Versuch 1
VSS: Punkt , Gerade , 
Beh: Gerade , 
, 
| Nr. | Beweisschritt | Begründung |
|---|---|---|
| (I) |  , 
|
(Axiom I.0) |
| (II) | Gerade 
|
(Axiom I.1) |
| (III) | das Maß von  im Punkt an Gerade in der Halbebene  abtragen. Es exisitert genau ein  mit dem Maß 
|
(Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II) |
| (IV) |  sind Stufenwinkel
|
(III), (Def. Stufenwinkel) |
| (V) |  =
|
(Axiom I.1) |
| (V) | 
|
(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V) |
--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)
Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:
Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:
- Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
- Fall: schneidet h
- Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei
Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei.
--Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)
