Untergruppen, Untergruppenkriterien: Unterschied zwischen den Versionen

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Es seien <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> zwei Bewegungen.<br />
 
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Wir haben zu zeigen, dass <math>\alpha \circ \beta</math> eine Bewegung ist.<br />
 
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Da die NAF zweier Abbildungen immer eine Abbildung ist, müssen wir nur zeigen dass <math>\alpha \circ  \beta</math> abstandserhaltend ist:<br />
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Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass <math>\alpha \circ  \beta</math> abstandserhaltend ist:<br />
 
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(3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q))  \vert & (1), (2)
 
(3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q))  \vert & (1), (2)
 
\end{matrix}
 
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Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ.
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Wir betrachten die Abbildung <math>\operatorname{id}</math>, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet:<br />
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<math>\forall P \in  \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P</math><math></math><br />
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Damit ist <math>\operatorname{id}</math> eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen <math>\operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B
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\in \varepsilon</math> gilt natürlich auch <math>\vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert</math>.
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<!--- Was hier drunter steht muss stehen bleiben --->
 
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Version vom 27. Mai 2018, 14:41 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Beispiele, Gegenbeispiele

Beispiel 1

Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus [\mathbb{Z}_6, \oplus].
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: \mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:

\oplus \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5}
\overline{0} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5}
\overline{1} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0}
\overline{2} \overline{2} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1}
\overline{3} \overline{3} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2}
\overline{4} \overline{4} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3}
\overline{5} \overline{5} \overline{0} \overline{1} \overline{2} \overline{3} \overline{4}

Wir wählen aus \mathbb{Z}_6 die folgende Teilmenge 2\mathbb{Z}_6aus:

2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}

[2\mathbb{Z}_6, \oplus] ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von [\mathbb{Z}_6, \oplus]

\oplus \overline{0} \overline{2} \overline{4}
\overline{0} \overline{0} \overline{2} \overline{4}
\overline{2} \overline{2} \overline{4} \overline{0}
\overline{4} \overline{4} \overline{0} \overline{2}

Beispiel 2

Die Gruppe der Bewegungen

Die Gruppenmitglieder

Unter einer Bewegung \beta versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich:
Es sei \varepsilon unsere Ebene.

\beta ist Relation
\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)
\beta ist eindeutig und damit Abbildung
\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*
\beta ist abstandserhaltend
\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert

Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit \Beta bezeichnen.

Die Verknüpfung

wir wählen als Verknüpfung auf \Beta die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit \circ.

[\Beta, \circ] ist Gruppe

Abgeschlossenheit

Es seien \alpha und \beta zwei Bewegungen.
Wir haben zu zeigen, dass \alpha \circ \beta eine Bewegung ist.
Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass \alpha \circ \beta abstandserhaltend ist:
\begin{matrix} (1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2) \end{matrix}

Assoziativität

Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ.

Einselement

Wir betrachten die Abbildung \operatorname{id}, die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet:
\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P
Damit ist \operatorname{id} eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen \operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B \in \varepsilon gilt natürlich auch \vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert.


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