Version vom 3. Juni 2018, 14:02 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele, Gegenbeispiele
2 Definition des Begriffs Untergruppe
- 2.1 Definition: (Untergruppe)
- 2.2 Satz: (triviale Untergruppen)
3 Untergruppenkriterium 1
- 3.1 Satz: (Untergruppenkriterium 1)
4 Untergruppenkriterium 2
- 4.1 Satz (Untergruppenkriterium 2)

Beispiele, Gegenbeispiele

Beispiel 1

Wir gehen von der additiven Gruppe der Restklassen modulo 6 aus $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$ .
Die Gruppe besteht aus den folgenden Restklassen: $\mathbb{Z}_6=\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5} \}$
Die Gruppentafel sieht wie folgt aus:

$\oplus$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$
$\overline{1}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$	$\overline{0}$
$\overline{2}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$
$\overline{3}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$
$\overline{4}$	$\overline{4}$	$\overline{5}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$
$\overline{5}$	$\overline{5}$	$\overline{0}$	$\overline{1}$	$\overline{2}$	$\overline{3}$	$\overline{4}$

Wir wählen aus $\mathbb{Z}_6$ die folgende Teilmenge $2\mathbb{Z}_6$ aus:

$2\mathbb{Z}_6:=\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}$

$[2\mathbb{Z}_6, \oplus]$ ist eine Gruppe und damit eine Untergruppe von $[\mathbb{Z}_6, \oplus]$

$\oplus$	$\overline{0}$	$\overline{2}$	$\overline{4}$
$\overline{0}$	$\overline{0}$	$\overline{2}$	$\overline{4}$
$\overline{2}$	$\overline{2}$	$\overline{4}$	$\overline{0}$
$\overline{4}$	$\overline{4}$	$\overline{0}$	$\overline{2}$

Beispiel 2

Die Gruppe der Bewegungen

Die Gruppenmitglieder

Unter einer Bewegung $\beta$ versteht man eine abstandserhaltende Abbildung der Ebene auf sich:
Es sei $\varepsilon$ unsere Ebene.

$\beta$ ist Relation

$\forall P \in \varepsilon \exist P' \in \varepsilon: P'=\beta(P)$

$\beta$ ist eindeutig und damit Abbildung

$\forall P \in \varepsilon: P'=\beta(P) \land P^*=\beta(P) \Rightarrow P'=P^*$

$\beta$ ist abstandserhaltend

$\forall P, Q \in \varepsilon: \vert PQ \vert = \vert \beta(P) \beta(Q)\vert$

Die Menge aller Bewegungen wollen wir mit $\Beta$ bezeichnen.

Die Verknüpfung

wir wählen als Verknüpfung auf $\Beta$ die NAF von Abbildungen und kennzeichnen diese mit $\circ$ .

$[\Beta, \circ]$ ist Gruppe

Abgeschlossenheit

Es seien $\alpha$ und $\beta$ zwei Bewegungen.
Wir haben zu zeigen, dass $\alpha \circ \beta$ eine Bewegung ist.
Da die NAF zweier Abbildungen der Ebene auf sich ist tivialerweise wieder eine Abbildung der Ebene auf sich. Wir müssen nur zeigen dass $\alpha \circ \beta$ abstandserhaltend ist:
$\begin{matrix} (1) & \vert PQ \vert = \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert & \alpha \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (2) & \vert \alpha(P) \alpha(Q) \vert = \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & \beta \text{ ist Bewegung und damit abstandserhaltend} \\ (3) & \vert PQ \vert= \vert \beta(\alpha(P)) \beta(\alpha(Q)) \vert & (1), (2) \end{matrix}$

Assoziativität

Die NAF von Abbildungen ist immer assoziativ.

Einselement

Wir betrachten die Abbildung $\operatorname{id}$ , die jeden Punkt die Abbildung der ebene auf sich selbst abbildet:
$\forall P \in \varepsilon: \operatorname{id}(P)=P$
Damit ist $\operatorname{id}$ eine Abbildung der Ebene auf sich. Wegen $\operatorname{id}(A)=A \land \operatorname{id}(B)= B, \forall A,B \in \varepsilon$ gilt natürlich auch $\vert AB\vert = \vert \operatorname{id}(A) \operatorname{id}(B)\vert$ .
$\operatorname{id}$ erfüllt die Eigenschaften eines Einselementes:
$\forall P \in \varepsilon : \beta \circ \operatorname{id}(P)= \operatorname{id}(\beta(P))=\beta(P)$ und somit $\operatorname{id} \circ \beta = \beta$ .

inverse Elemente

Es genügt zu zeigen, dass jede Bewegung $\beta$ eineindeutig ist, d.h. dass jeder Punkt $\R \in \varepsilon$ bei $\beta$ ein und nur ein Urbild $Q \in \varepsilon$ hat.

Injektivität von $\beta$

Sei $P'$ das Bild von $P$ bei der Bewegung $\beta$ . Wir haben zu zeigen, dass es keinen Punkt $Q \in \varepsilon, Q \not \equiv P$ gibt, der durch $\beta$ auch auf $P'$ abgebildet wird. Wir nahemen, an, dass es einen solchen Punkt $Q$ gibt. Dann gilt:
$0=\vert P'P' \vert = \vert PQ \vert$ und damit $P \equiv Q$ , was ein Widerspruch zur Annahme $P \not \equiv Q$ ist.

Surjektivität von $\beta$

Wir haben zu zeigen, dass jeder Punkt $Q \in \varepsilon$ bei der Bewegung $\beta$ ein Urbild hat.
Annahme: $Q$ hat kein Urbild bei $\beta$ . Da jeder Punkt der Ebene $\varepsilon$ durch $\beta$ auf genau einen Punkt der Ebene $\varepsilon$ abgebildet wird und der Punkt $Q$ kein Urbild hat, müssen wenigstens zwei verschiedene Punkte $A$ und $B$ aus $\varepsilon$ durch $\beta$ auf ein und denselben Punkt $C$ abgebildet werden:

$A \overset{\beta}{\rightarrow} C$
$B \overset{\beta}{\rightarrow} C$

Wegen $\vert CC \vert = 0 = \vert \beta(A) \beta(B) \vert$ müssen $A$ und $B$ ein und derselbe Punkt, also identisch sein. Das ist ein Widerspruch zu $A\not\equiv B$ . Unsere Annahme $Q$ hat kein Urbild ist also zu verwerfen.

Die Untergruppe der Drehungen um ein und denselben Punkt

Drehungen

Eine Bewegung die entweder die Identität ist oder genau einen Fixpunkt $Z$ besitzt, heißt Drehung. Falls die Bewegung genau den Fixpunkt $Z$ hat, sprechen wir von einer Drehung um $Z$ .

Die Gruppe der Drehungen um ein und denselben Fixpunkt

Es sei $Z$ ein beliebiger aber fester Punkt der Ebene. Wir betrachten $\mathbb{D}_Z$ die Menge aller Drehungen um $Z$ . Als Verknüpfung auf $\mathbb{D}_Z$ wählen wir die $\circ$ , die NAF von Abbildungen. $[\mathbb{D}_Z, \circ ]$ ist eine Gruppe: