Gruppendefinition (Gleichung): Unterschied zwischen den Versionen
(→Existenzbeweis: Umformung nach x eingefügt) |
(→Beweis von Satz 7: kleine Ergänzung bzgl. x=y=a^{-1}) |
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* <math>y \odot a = e</math> | * <math>y \odot a = e</math> | ||
lösbar. | lösbar. | ||
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+ | Daraus folgt, dass <math>x,y</math> Inverse von <math>a</math> sind, also <math>x=y=a^{-1}</math> (nach Satz 4). | ||
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=Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition= | =Weitere Möglichkeit der Gruppendefinition= | ||
Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen | Die Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen |
Aktuelle Version vom 13. Juli 2018, 15:56 Uhr
Eindeutigkeit des EinslementesSatz 3Jede Gruppe hat genau ein Einslement. Beweis von Satz 3Es sei Eindeutigkeit der inversen ElementeSatz 4In jeder Gruppe Beweis von Satz 4Es sei Die triviale Gleichung
KürzbarkeitSatz 5Es sei Beweis von Satz 5Jeweils von rechts bzw. links beide Seiten der Gleichung mit Lösbarkeit der GleichungenSatz 6In jeder Gruppe
jeweils eindeutig lösbar. Beweis von Satz 6Wir führen den Beweis nur für die Gleichung ExistenzbeweisZuerst formen wir
EindeutigkeitsbeweisEs seien Ein Monoid in dem die Gleichungen lösbar sind, ist eine GruppeSatz 7Es sei
in Beweis von Satz 7Wir haben zu zeigen, dass zu jedem Element
lösbar. Daraus folgt, dass Weitere Möglichkeit der GruppendefinitionDie Sätze 6 und 7 erlauben, eine Gruppe als ein Monoid zu definieren, in dem die Gleichungen
lösbar sind. |