GeometrieUndUnterrichtSS2019 05: Unterschied zwischen den Versionen
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<u>Bemerkung:</u> Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind. | <u>Bemerkung:</u> Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind. |
Version vom 25. Mai 2019, 09:35 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Vorbereitungsauftrag
Lesen Sie die Seiten 30-43 in Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“. Wählen Sie einen der genannten Größenbereiche aus: Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt, Gewicht, Zeitdauer, Geldwert. Geben Sie für den gewählten Größenbereich wichtige Aktivitätsformen für Schülerinnen und Schüler zu den in Abschnitt 3.8 dargestellten methodischen Stufen an.
Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags
Größenbereich | Stufe 1 | Stufe 2 | Stufe 3 | Stufe 4 | Stufe 5 |
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Wahlbereich |
Aktivitäten für erste Stufe. |
Aktivitäten für zweite Stufe. |
Aktivitäten für dritte Stufe. |
Aktivitäten für vierte Stufe. |
Aktivitäten für fünfte Stufe. |
Flächeninhalt |
Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen. Aufbau einer Ordnungsrelation durch Gegenüberstellung von flächenmäßig größeren und kleineren Objekten. Augenscheinlich und intuitiv klar. |
Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen und der Größe nach sortieren. Objekte die ineinander liegen stellen eine visuelle Repräsentation der Transitivität dar: "Wenn A in B liegt, und B in C liegt, dann liegt auch A in C." |
Ausmessen von Flächen durch Norm- Quadrate/Rechtecke/Dreiecke. Einheiten wie cm^2, m^2 können durch Normquadrate eingeführt und repräsentiert werden. Mit Hilfe dieser (Flächen-)Einheiten können Flächeninhalte größerer und/oder komplizierterer Flächen gemessen werden. Hier ist noch keine explizite Berechnung nötig, nur das Auslegen und Zählen. |
Einheiten aus der vorherigen Stufe können dazu genutzt werden Flächen in der realen Welt zu messen. Schnell ergeben sich hier unterschiedliche Größendimensionen/Größenskalen. Dies motiviert die Einführung eines Einheitensystems, das verschiedene Größenordnungen umfasst, und Umrechnung innerhalb dieses Einheitensystems. Der Übergang von cm^2 über dm^2 zu m^2 kann noch mit Hilfe von ausgeschnitteten Schablonen bewältigt werden. Für größere Größenordnungen muss eine abstrakte/verbale Respräsentation aus der realen Welt gewählt werden z.B. Fußballfelder, Acker, Schwimmbecken im lokalen Freibad, ... Aktivität: Schätzung von Flächeninhalten durch Repräsentaten dieser neuen Größenordnungen und Umrechnung/Interpretation in kleinerer/größerer Größenordnung. |
Einführung eines alternativen Einheitensystems. Hier bietet sich ein ausländisches (nicht SI-)Einheitensystem an. Hier kann erneut verdeutlicht werden, wie Flächeninhalte, je nach Wahl der Einheit (Einheitsmeter vs Fuß), variieren können. Schülerinnen und Schüler können Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten messen. Durch eine Messreihe können Schüler ein Muster in den Messergebnissen feststellen und sogar einen Umrechnungsfaktor bestimmen.
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Zeitdauer |
Anknüpfen an intuitives Verständnis von Zeitdauer und Zeit (z.B. "etwas dauert lange"); beispielsweise schätzen lassen, wie lange ein gemeinsam abgewartetes Zeitintervall war oder wie viel Zeit die SuS brauchen, um bestimmte Dinge zu tun; Hervorheben der Subjektivität im Kontext von Zeitwahrnehmung |
Zeitdauern und / Zeitintervalle vergleichen; beispielsweise vergleichen, wie lange Schüler x und Schüler y für den Schulweg brauchen, wie viel Zeit man für den Schulweg benötigt, wenn man unterschiedliche Verkehrsmittel verwendet oder wie viel mehr Zeit Sportler x für die Laufstrecke bracht als Sportler y. Hierbei können Zeitangaben in Form von Einheiten (z.B. 10 Minuten für den Schulweg) bereits vorkommen und werden von den SuS vermutlich intuitiv genannt, da sie täglich mit Zeitangaben konfrontiert werden. |
Zeiteinheiten: Sekunden, Minuten und Stunden (s, min, h) als Standardeinheiten einführen. Der Aufbau des Einheitensystems kann hierbei problematisch sein, weil nicht auf das Prinzip bekannter Einheitensysteme (z.B. für Längen) zurückgegriffen werden kann. Der Umgang mit der Tatsache, dass eine Minute nicht aus 100, sondern aus 60 Sekunden besteht, kann zu Verständnisproblemen führen, ließe sich aber beispielsweise anhand einer Uhr als Alltagsgegenstand, welchen die SuS sicher schon kennen, verdeutlichen. Ein geeignetes Messverfahren wäre hierbei v.a. das Stoppen der Zeit mithilfe von Uhren oder Timern auf dem Handy usw. (wobei die Unterscheidung zwischen digitaler und analoger Zeitangabe eine Herausforderung darstellt). Auch die Verwendung eines Metronoms, das Zählen oder das Messen anhand des eigenen Pulses sind hier denkbar. |
Zeiteinheiten: Tag, Monat, Jahr (größerer Zusammenhang), beispielsweise mithilfe des Kalenders und des Aufbaus eines Jahres inklusive ggf. astronomischer Zusammenhänge (z.B. Warum ein Jahr 365 Tage hat, warum es ein Schaltjahr geben muss oder woher die Einteilung des Tags in 24 Stunden kommt.) |
Die Besonderheiten der Einheiten zur Zeitdauer, die unter Stufe 3 bereits angesprochen wurden, müssen hier vertieft werden, um insbesondere das Umrechnen von Zeitangaben und das Addieren und Vervielfachen derselben bewerkstelligen und vertiefen zu können. Denkbar wäre es auch, sich andere Zeiteinheiten zu überlegen als die bereits bekannten, auf dieser Grundlage Zeitangaben miteinander zu vergleichen und ggf. auf ihre Praktikabilität hin zu untersuchen (z.B. Zeiteinteilung des Tages in Schulstunden, sofern diese 45 statt 60 Minuten dauern). |
Längen |
Aufgrund ihrer eigenen Erfahrungen im Alltag besitzen vermutlich die meisten SuS eine gewisse Grundvorstellung von Längen (z.B. Körpergröße). Als einführende Aufgabe könnten die SuS mithilfe von Schnur und Schere die Länge von ausgewählten Gegenständen messen, indem sie die Schnur an die zu messende Strecke anlegen und ein der Länge entsprechendes Stück davon abschneiden. Abschließend können beide „Schnurstücke“, d.h. indirekt die Länge der beiden Gegenstände, vergleichen werden (z.B. „Die Tafel ist länger bzw. breiter als die Schreibtischkante.“) Ziel: Ordnungsrelation I. Vergleich der Körpergröße der Sitznachbarn: größer <-> kleiner via: Zwei stellen sich nebeneinander, ein Dritter überprüft die Größe Das Ziel hierbei ist, die SuS der Größe nach aufzustellen. |
Die Schülerinnen und Schüler erhalten die Aufgabe, sich ihrer Körpergröße nach geordnet im Klassenzimmer aufzustellen. Um das Verständnis für die Transitivität der Ordnung zu fördern, könnte jedem Schüler/jeder Schülerin (A) die Aufgabe erteilt werden, einen Schüler/eine Schülerin in der aufgestellten Reihe zu bestimmen, die größer (B) bzw. kleiner (C) als er selbst/sie selbst ist. Anschließend kann die Lehrperson hervorheben, dass damit Schüler/Schülerin C ebenfalls kleiner als Schüler/Schülerin B ist. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen, können Schüler/Schülerin C und B aus der Reihe heraustreten und sich zum Vergleich nebeneinander aufstellen.
Aktivität:
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Den SuS werden verschiedene Längenrepräsentanten zur Verfügung gestellt, die den Standardeinheiten entsprechen (z.B. Schaschlikspieße der Länge 1dm, Büroklammern der Länge 1cm, …) mithilfe derer sie ihre Körpergröße ermitteln sollen, indem sie sich auf den Fußboden legen und ihre „Länge“ von anderen SuS mit den Repräsentanten „ausgelegt“ wird. Während dieser Aufgabe wird den SuS bewusst, welche „Messgeräte“ sich für die Messung von Körpergrößen eignen und weshalb verschiedene Längeneinheiten sinnvoll sind (z.B. damit man nicht 140 Büroklammern verwenden muss, um die Körpergröße nachzubilden).
Aktivität: Ab nun werden Messobjekte anhand von Normrepräsentanten gemessen: |
Um den Ausbau des Systems von Standardrepräsentanten zu fördern, erhalten die SuS eine Liste von Längenrepräsentanten (z.B. Gegenstände, bestimmte Wegabschnitte, die Höhe des Schulgebäudes u.Ä.), deren Längen sie zunächst schätzen und anschließend mithilfe von zur Verfügung gestellten Messgeräten abmessen sollen. Der Schätzvorgang dient dabei dem gedanklichen Vergleich mit bekannten Repräsentanten und fördert die Kenntnis weiterer Repräsentanten. Ziel: Einheitensystem und Standardrepräsentanten Aktivität: Ausbau Einheitensystem durch System von Standartrepräsentanten wie beispielsweise: 1 cm = Büroklammer 10 cm = Stift 100cm =Tafelbreite 1000cm = Zimmerlänge |
Zum Rechnen mit Längen eignen sich Aufgaben, mit denen die SuS auch im Alltag konfrontiert werden könnten. Beispielsweise könnte berechnen werden, wie groß einer der Schüler/eine der Schülerinnen im nächsten Schuljahr sein wird, wenn sie innerhalb des nächsten Jahres 8cm wächst, usw.
Aktivität: 1cm = Büroklammer 1dm= Stiftlänge 1m= Tafellänge 10m= Zimmerlänge 100m= Sprintstrecke 1km= ... 10km…... Rechenaktivitäten: Wie groß ist Klasse zusammen in cm ausgedrückt? Wie groß in km?...
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Längen |
Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten: Vergleich von verschieden langen Gegenständen, z.B. Buntstifte. Gleichlang, kürzer, länger. |
Mittelbarer Vergleich: Buntstifte oder verschieden lange Papier-Streifen der Länge nach ordnen. |
Vergleichen und Messen mit Normrepräsentantnen: Einführung der Standardeinheiten 1mm, 1cm, 1dm, 1m, 1km. Kann anhand eines Meterstabs/Maßband/Lineal erfolgen. SuS sollen anhand von Stäben oder Schnüren Objekte messen. |
Ausbau des Einheitensystems: 1mm: Dicke eines Geodreiecks 1cm: Breite eines Fingernagels 1dm: Breite von Toilettenpapier 1m: Höhe der grünen Fläche von Schultafeln 1km: Von meinem Haus zum Bäcker. Sus sollen zu jeder Einheit selbst Repräsentanten finden und notieren |
Rechnen mit Größen des Bereichs: Addieren, Vervielfachen, Umwandeln der verschiedenen Einheiten. Übung zum Berechnen von Längenunterschieden.
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Geldwert |
Geldbeträge dargestellt durch Münzberge bestehend nur aus einer Münzart. Diese nach Wertigkeit sortieren. |
Aufbauend auf die eigenen Erfahrungen vergleichen die SuS nun beliebige Geldwerte. Womit kann ich mehr kaufen? Mit einem 2€ Stück oder mit einem 50ct Stück, etc. |
Alle Euromünzen in 1ct Stücken darstellen. Wie viele 1ct Stücke brauche ich bis die so viel Wert sind wie ein 20ct Stück, etc. |
Mit der Klasse Überlegungen anstellen: Für 10ct = 0.1€ bekomme ich ein Bonbon. Für 1€ bekomme ich einen Apfel. Für 10€ ein T-Shirt, für 100€ fliege ich nach London, etc. |
Wie viel von XY kann ich mir mit YZ€ kaufen? Einfache Kassnebeispiele berechnen. Rückgeld von Einkäufen ausrechnen, etc.
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Sitzungsmaterialien
Dokumentation der Sitzung
Die Sitzung war in drei Punkte gegliedert. Zu Beginn wurden die Ziele im Zusammenhang mit Größen erläutert. Anschließend wurde der Aufbau von Größenvorstellungen und Stützpunktvorstellungen thematisiert. Hierunter war auch die Arbeitsphase der Sitzung zu finden. Abschließend wurde grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen präsentiert.
Ziele im Zusammenhang mit Größen
Messen und Größen im Bildungsplan
Mithilfe eines kurzen Brainstormings sollten die Teilnehmer die Aspekte von „Messen und Größen“ im Bildungsplan erarbeiten. Die hierbei erwähnten Aspekte deckten sich größtenteils mit den Standards im Bildungsplan (siehe Folie 3).
Tabelle:
Ergebnisse | Bildungsplan |
---|---|
Rechnen mit Einheiten | Messvorgänge |
Vorstellungen von Größen entwickeln (Realitätsbezug hierbei wichtig) | Umgang mit Einheiten (Standardeinheiten) |
Umgang mit Messgeräten erlernen (Geodreieck Winkelbestimmung, Thermometer, etc) | spezifische Größen messen (Längen, Volumina, Flächeninhalte, Winkel, …) |
Grundvorstellungen zu Körpern und Flächen entwickeln | Schätzen und Vergleichen |
Schätzen | Umgang mit Figuren und Körpern und Rechnungen in diesem Zusammenhang durchführen |
Ziele der Leitidee Messen und Rechnen
1.Aufbau von Größenbegriffen Hierbei sind im speziellen die Fragen „Was ist diese Größe. Wie messe ich diese Größe“ von zentraler Bedeutung um den Größenbegriff zu durchdringen.
Beispiele:
- Flächeninhalt= „Was mit der Rasterfolie gemessen wird“
- Volumen= „Was mit einem Einheitsmesswürfel gemessen wird“
- Länge= „Was mit einem Metermaß gemessen wird“
- Gewicht= „ Was mit einer Wage gemessen wird“
Hierbei können die Größenbegriffe unterschieden werden, da der Zugang zu diesem Größenbegriff über dessen Messgerät erfolgt und diese unterschiedlich sind. Hiermit kann vor allem der Schwierigkeit des Flächeninhaltsbegriffes entgegen gewirkt werden (siehe grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen).
2. Standardrepräsentanten aufbauen für Einheitensystem (Stützpunktvorstellungen)
3. Umwandlung von Einheiten
4. Rechnen mit Größen
Bemerkung: Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind.
Abschließende Bemerkung zur Leitidee Messen
Die Leitidee Messen steht nicht isoliert im Bildungsplan. Es bestehen Vernetzungen und Verweise zu anderen Leitideen (beispielsweise der Leitidee Funktionaler Zusammenhang, via: Berechnungsformel als Funktion) und zu prozessbezogenen Kompetenzen (beispielsweise zur p. Kompetenz „Modellieren“, hier gilt es um „messen in alltäglichen Kontexten“. Hierzu wurden die Beispiele Tapezieren, Küche erneuen oder Garten ausmessen präsentiert)
Aufbau von Größenvorstellungen
Zu Beginn dieses Gliederungspunktes stand eine kurze Arbeitsphase.
Arbeitsauftrag:
SuS spielen auf einer Wiese Fußball. Sie möchten ein Fußballtor mithilfe von Steinen begrenzen. Beide Tore sollen gleich lang sein. Wie geht das?
Ergebnisse:
:* Richtiges Tor (mit Latte und somit Höhe): Messen mit Körpergröße; einen Pfosten als Normlänge festlegen und andere Längen in diesem Verhältnis ausmessen.
:* Nur Torbegrenzung (Steine als Begrenzung, keine Pfosten oder Latte): Tor mit Füßen ablaufen und somit Fußlänge als Normlänge festlegen; Seil, Stock, Metermaß als alternative Normlängen nehmen zum abmessen.
Methodische Stufenfolge
In dieser Inputphase wurde das Stufenmodell zu Größenerarbeitung vorgestellt (siehe Folie 8ff.). Ergänzend siehe Vorbereitungsauftrag. Zusammenfassend gilt:
1.Stufe: Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten
- Ziel: Ordnungsrelation Aufbauen
- Ideen: nebeneinanderstehen (Länge), übereinanderliegen (Flächeninhalt), ineinander (Volumen)
2.Stufen: Mittelbarer Vergleich mit selbst gewählten Einheiten (willkürlichen Maßeinheiten)
- Ziel: Transitivität aufzeigen
- Ideen: Siehe Beispiel mit dem Tor: Hierbei mit Körper, Seil, Füße, Stock als willkürliche Maßeinheiten die Längen der Tore vergleichen.
3. Stufe: Vergleich mithilfe von Standardrepräsentanten
- Ziel: Einführung von Standardeinheiten und Anfang eines Einheitensystems
- Idee: Standardisierte Messverfahren verwenden, z.B. Tore mit Metermaß abmessen und vergleichen.
4.Stufen: Ausbau des Einheitensystems und Größenvorstellungen aufbauen
- Ziel: Stützpunktvorstellungen als Standardrepräsentanten für bestimmte Größen aufbauen
- Idee: Gemeinsam System von Stützpunktvorstellungen erarbeiten (siehe Arbeitsauftrag 2).
5.Stufe: Rechnen und Umwandeln der Einheiten aus dem Einheitensystem
Ergebnisse der Diskussion dieses Stufenmodells
- Kernidee der Stufen 2 und 3 ist die folgende Abfolge:
- Maßeinheit finden-> auslegen, zählen, messen-> Einheiten verfeinern->Standardeinheiten erlangen
- Geldwert im Modell: Zu diesem Punkt entstand eine Diskussion, inwieweit das Modell und die Größe Geldwert kompatibel sind. Als Ergebnis dieser Diskussion wurde festgestellt, dass das Modell eher nicht geeignet ist um hiermit Geld als Größe zu thematisieren. Es wurde erarbeitet, dass der Geldwert als markwirtschaftliche, monetäre Zuschreibung eines Geldwertes zu einem Objekt (der Preis des Objektes) ein sehr abstrakter Größenbereich ist und das Stufenmodell eben nicht für diesen Bereich gilt. Anderseits kam die Idee auf, dass unter Geldwert auch subjektive Wertzuschreibungen zu einem Objekt gemeint sein können. Die Größenvorstellungen einer subjektiven Wertzuschreibung können beispielsweise durch Tauschgeschäfte und Tauschspiele gestärkt und aufgebaut werden. Als Beispiel um solche subjektiven Wertvorstellungen aufzubauen wurde der Tausch „Pulli vs. Laptop“ genannt. Statt die abstrakte Größe Preis zu betrachten und die Zahlen der Preisangabe zu vergleichen wird bei einem Tauschgeschäft die individuelle Wertzuschreibung betrachtet. Die SuS fragen sich selbst, ob sie einen Pulli gegen einen Laptop tauschen würden und entwickeln somit eigene Größenvorstellungen von ihrem subjektiven Geldwert statt Preise und deren Zahlenwerte zu vergleichen.
- Die Teilnehmer lernten bei der Diskussion über das Modell, dass das Rechnen mit Größen und das Umwandeln von Einheiten nicht am Anfang der Betrachtung, sondern am Ende der Beschäftigung mit Größen stehen sollte. Ebenso wurde die Erkenntnis geschärft, dass das Schätzen und Messen als Tätigkeiten im Unterricht nicht zu kurz kommen sollten. Zusammen mit dem Aufbau von Stützpunktvorstellungen stellen sie die wichtigsten Aspekte bei der Beschäftigung mit Größen dar. Rechnen und Umwandeln wird nur als Zusatz gesehen in diesem Modell.
Nachbereitungsauftrag
Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum Begriffslernen (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)
- Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der Aufgabenstellung-Spalte.
- Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die Erwartungshorizont-Spalte ein.
- Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.
Unter den übergreifenden Literaturhinweise sind insbesondere relevant:
- Kapitel 7 „Flächeninhalt und Volumen“ in Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“
- Kapitel 3 „Größen im Mathematikunterricht“ in Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.
- Kapitel 5 „Flächeninhalte in den Klassen 5 bis 10“ in Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“.
- Abschnitt „Prinzip von Cavalieri, Satz von Dehn und Pyramidenvolumen“ aus dem Skript zur „Didaktik der Mathematik in der Sek. I“, Kapitel „Didaktik der Geometrie“, von Prof. Dr. Jürgen Roth (Universität Koblenz Landau).
- Hoffmann (2018). „Konzeption von fachmathematischen Schnittstellenmodulen für Lehramtsstudierende am Beispiel ausgewählter Themen der höheren Analysis“. In khdm-Report (Masterarbeit).
Ergebnisse der Nachbereitung
Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.
Aufgabenstellung | Erwartungshorizont | Diskussion |
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Lorem |
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