GeometrieUndUnterrichtSS2019 05

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Inhaltsverzeichnis

Vorbereitungsauftrag

Lesen Sie die Seiten 30-43 in Krauter (2008). „Beiträge zur Methodik und Didaktik des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe 1 (Klassen 5 bis 10)“. Wählen Sie einen der genannten Größenbereiche aus: Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt, Gewicht, Zeitdauer, Geldwert. Geben Sie für den gewählten Größenbereich wichtige Aktivitätsformen für Schülerinnen und Schüler zu den in Abschnitt 3.8 dargestellten methodischen Stufen an.

Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags

Größenbereich Stufe 1 (Unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten) Stufe 2 (Mittelbarer Vergleich mit willk. Maßeinheiten) Stufe 3 (Normrepräsentanten) Stufe 4 (Einheitensystem) Stufe 5 (Rechnen mit Größen)

Flächeninhalt

Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen. Aufbau einer Ordnungsrelation durch Gegenüberstellung von flächenmäßig größeren und kleineren Objekten. Augenscheinlich und intuitiv klar.

Flächeninhalte verschiedener ausgeschnittener geometrischer Formen durch Übereinanderlegen vergleichen und der Größe nach sortieren. Objekte die ineinander liegen stellen eine visuelle Repräsentation der Transitivität dar: "Wenn A in B liegt, und B in C liegt, dann liegt auch A in C."

Ausmessen von Flächen durch Norm- Quadrate/Rechtecke/Dreiecke. Einheiten wie cm^2, m^2 können durch Normquadrate eingeführt und repräsentiert werden. Mit Hilfe dieser (Flächen-)Einheiten können Flächeninhalte größerer und/oder komplizierterer Flächen gemessen werden. Hier ist noch keine explizite Berechnung nötig, nur das Auslegen und Zählen.

Einheiten aus der vorherigen Stufe können dazu genutzt werden Flächen in der realen Welt zu messen. Schnell ergeben sich hier unterschiedliche Größendimensionen/Größenskalen. Dies motiviert die Einführung eines Einheitensystems, das verschiedene Größenordnungen umfasst, und Umrechnung innerhalb dieses Einheitensystems. Der Übergang von cm^2 über dm^2 zu m^2 kann noch mit Hilfe von ausgeschnitteten Schablonen bewältigt werden. Für größere Größenordnungen muss eine abstrakte/verbale Respräsentation aus der realen Welt gewählt werden z.B. Fußballfelder, Acker, Schwimmbecken im lokalen Freibad, ... Aktivität: Schätzung von Flächeninhalten durch Repräsentaten dieser neuen Größenordnungen und Umrechnung/Interpretation in kleinerer/größerer Größenordnung.

Einführung eines alternativen Einheitensystems. Hier bietet sich ein ausländisches (nicht SI-)Einheitensystem an. Hier kann erneut verdeutlicht werden, wie Flächeninhalte, je nach Wahl der Einheit (Einheitsmeter vs Fuß), variieren können. Schülerinnen und Schüler können Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten messen. Durch eine Messreihe können Schüler ein Muster in den Messergebnissen feststellen und sogar einen Umrechnungsfaktor bestimmen.


Zeitdauer

Anknüpfen an intuitives Verständnis von Zeitdauer und Zeit (z.B. "etwas dauert lange"); beispielsweise schätzen lassen, wie lange ein gemeinsam abgewartetes Zeitintervall war oder wie viel Zeit die SuS brauchen, um bestimmte Dinge zu tun; Hervorheben der Subjektivität im Kontext von Zeitwahrnehmung

Zeitdauern und / Zeitintervalle vergleichen; beispielsweise vergleichen, wie lange Schüler x und Schüler y für den Schulweg brauchen, wie viel Zeit man für den Schulweg benötigt, wenn man unterschiedliche Verkehrsmittel verwendet oder wie viel mehr Zeit Sportler x für die Laufstrecke bracht als Sportler y. Hierbei können Zeitangaben in Form von Einheiten (z.B. 10 Minuten für den Schulweg) bereits vorkommen und werden von den SuS vermutlich intuitiv genannt, da sie täglich mit Zeitangaben konfrontiert werden.

Zeiteinheiten: Sekunden, Minuten und Stunden (s, min, h) als Standardeinheiten einführen. Der Aufbau des Einheitensystems kann hierbei problematisch sein, weil nicht auf das Prinzip bekannter Einheitensysteme (z.B. für Längen) zurückgegriffen werden kann. Der Umgang mit der Tatsache, dass eine Minute nicht aus 100, sondern aus 60 Sekunden besteht, kann zu Verständnisproblemen führen, ließe sich aber beispielsweise anhand einer Uhr als Alltagsgegenstand, welchen die SuS sicher schon kennen, verdeutlichen. Ein geeignetes Messverfahren wäre hierbei v.a. das Stoppen der Zeit mithilfe von Uhren oder Timern auf dem Handy usw. (wobei die Unterscheidung zwischen digitaler und analoger Zeitangabe eine Herausforderung darstellt). Auch die Verwendung eines Metronoms, das Zählen oder das Messen anhand des eigenen Pulses sind hier denkbar.

Zeiteinheiten: Tag, Monat, Jahr (größerer Zusammenhang), beispielsweise mithilfe des Kalenders und des Aufbaus eines Jahres inklusive ggf. astronomischer Zusammenhänge (z.B. Warum ein Jahr 365 Tage hat, warum es ein Schaltjahr geben muss oder woher die Einteilung des Tags in 24 Stunden kommt.)

Die Besonderheiten der Einheiten zur Zeitdauer, die unter Stufe 3 bereits angesprochen wurden, müssen hier vertieft werden, um insbesondere das Umrechnen von Zeitangaben und das Addieren und Vervielfachen derselben bewerkstelligen und vertiefen zu können. Denkbar wäre es auch, sich andere Zeiteinheiten zu überlegen als die bereits bekannten, auf dieser Grundlage Zeitangaben miteinander zu vergleichen und ggf. auf ihre Praktikabilität hin zu untersuchen (z.B. Zeiteinteilung des Tages in Schulstunden, sofern diese 45 statt 60 Minuten dauern).

Längen

Aufgrund ihrer eigenen Erfahrungen im Alltag besitzen vermutlich die meisten SuS eine gewisse Grundvorstellung von Längen (z.B. Körpergröße). Als einführende Aufgabe könnten die SuS mithilfe von Schnur und Schere die Länge von ausgewählten Gegenständen messen, indem sie die Schnur an die zu messende Strecke anlegen und ein der Länge entsprechendes Stück davon abschneiden. Abschließend können beide „Schnurstücke“, d.h. indirekt die Länge der beiden Gegenstände, vergleichen werden (z.B. „Die Tafel ist länger bzw. breiter als die Schreibtischkante.“)

Ziel: Ordnungsrelation

I. Vergleich der Körpergröße der Sitznachbarn: größer <-> kleiner via: Zwei stellen sich nebeneinander, ein Dritter überprüft die Größe

Das Ziel hierbei ist, die SuS der Größe nach aufzustellen.

Die Schülerinnen und Schüler erhalten die Aufgabe, sich ihrer Körpergröße nach geordnet im Klassenzimmer aufzustellen. Um das Verständnis für die Transitivität der Ordnung zu fördern, könnte jedem Schüler/jeder Schülerin (A) die Aufgabe erteilt werden, einen Schüler/eine Schülerin in der aufgestellten Reihe zu bestimmen, die größer (B) bzw. kleiner (C) als er selbst/sie selbst ist. Anschließend kann die Lehrperson hervorheben, dass damit Schüler/Schülerin C ebenfalls kleiner als Schüler/Schülerin B ist. Um diesen Sachverhalt zu verdeutlichen, können Schüler/Schülerin C und B aus der Reihe heraustreten und sich zum Vergleich nebeneinander aufstellen.


Ziel: Transitivität

Aktivität:
I. A ist größer als B und B ist größer als C somit auch A größer als C.(siehe Text oben)
II. Vergleich von Strecken, Schulhof, Zimmerlänge, Tischlänge mithilfe von willkürlichen Maßeinheiten


Bsp. für willkürliche Maßeinheiten sind: Stifte , Fußlänge und anhand derer Objekte und deren Länge vergleichen, Anzahl Schritte


Bsp. für Messobjekte hierbei sind : Tafellänge, Tischlänge, Stift, Unterarm, Zimmerlänge, Körpergröße und diese anhand der willkürlichen Maßeinheiten vergleichen und auf Transitivität kommen.


Den SuS werden verschiedene Längenrepräsentanten zur Verfügung gestellt, die den Standardeinheiten entsprechen (z.B. Schaschlikspieße der Länge 1dm, Büroklammern der Länge 1cm, …) mithilfe derer sie ihre Körpergröße ermitteln sollen, indem sie sich auf den Fußboden legen und ihre „Länge“ von anderen SuS mit den Repräsentanten „ausgelegt“ wird. Während dieser Aufgabe wird den SuS bewusst, welche „Messgeräte“ sich für die Messung von Körpergrößen eignen und weshalb verschiedene Längeneinheiten sinnvoll sind (z.B. damit man nicht 140 Büroklammern verwenden muss, um die Körpergröße nachzubilden).


Ziel: Standardeinheiten einführen

Aktivität:
I. Bedürfnis einer Standardeinheit motivieren(Zahlen in cm beispielsweise zu groß für km-Angaben)
II.Meterstab wird zum Messen als einheitliches Messgerät verwendet, da nicht alle Stifte gleich lang sind bzw. nicht alle Füße gleich groß und nicht jeder dieselbe Anzahl von Schritten bei einer Strecke hat etc. (Standardteinheiten motivieren, siehe Text oben)

Ab nun werden Messobjekte anhand von Normrepräsentanten gemessen:
Hierfür Einheitensystem aufbauen durch abmessen der Länge von: Radiergummi, Stifte, Tischlänge, Tafellänge, Körpergröße, Zimmerlänge.
Diese Längen mit Meterstab messen und dokumentieren

Um den Ausbau des Systems von Standardrepräsentanten zu fördern, erhalten die SuS eine Liste von Längenrepräsentanten (z.B. Gegenstände, bestimmte Wegabschnitte, die Höhe des Schulgebäudes u.Ä.), deren Längen sie zunächst schätzen und anschließend mithilfe von zur Verfügung gestellten Messgeräten abmessen sollen. Der Schätzvorgang dient dabei dem gedanklichen Vergleich mit bekannten Repräsentanten und fördert die Kenntnis weiterer Repräsentanten.

Ziel: Einheitensystem und Standardrepräsentanten

Aktivität: Ausbau Einheitensystem durch System von Standartrepräsentanten wie beispielsweise:

1 cm = Büroklammer

10 cm = Stift

100cm =Tafelbreite

1000cm = Zimmerlänge

Zum Rechnen mit Längen eignen sich Aufgaben, mit denen die SuS auch im Alltag konfrontiert werden könnten. Beispielsweise könnte berechnen werden, wie groß einer der Schüler/eine der Schülerinnen im nächsten Schuljahr sein wird, wenn sie innerhalb des nächsten Jahres 8cm wächst, usw.


Ziel: Rechnen mit den Größen; Umrechnen der Einheiten

Aktivität:
Einheiten umrechnen zur besseren Vergleichbarkeit der Längen-Liste in Stufe 4. Diese in passende Standardrepräsentanten für cm, dm, m, km umwandeln und ergänzen:

1cm = Büroklammer

1dm= Stiftlänge

1m= Tafellänge

10m= Zimmerlänge

100m= Sprintstrecke

1km= ...

10km…...

Rechenaktivitäten: Wie groß ist Klasse zusammen in cm ausgedrückt? Wie groß in km?...


Längen

Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten:

Vergleich von verschieden langen Gegenständen, z.B. Buntstifte. Gleichlang, kürzer, länger.

Mittelbarer Vergleich:

Buntstifte oder verschieden lange Papier-Streifen der Länge nach ordnen.

Vergleichen und Messen mit Normrepräsentantnen:

Einführung der Standardeinheiten 1mm, 1cm, 1dm, 1m, 1km. Kann anhand eines Meterstabs/Maßband/Lineal erfolgen. SuS sollen anhand von Stäben oder Schnüren Objekte messen.

Ausbau des Einheitensystems:

1mm: Dicke eines Geodreiecks

1cm: Breite eines Fingernagels

1dm: Breite von Toilettenpapier

1m: Höhe der grünen Fläche von Schultafeln

1km: Von meinem Haus zum Bäcker.

Sus sollen zu jeder Einheit selbst Repräsentanten finden und notieren

Rechnen mit Größen des Bereichs: Addieren, Vervielfachen, Umwandeln der verschiedenen Einheiten. Übung zum Berechnen von Längenunterschieden.


Geldwert

Geldbeträge dargestellt durch Münzberge bestehend nur aus einer Münzart. Diese nach Wertigkeit sortieren.

Aufbauend auf die eigenen Erfahrungen vergleichen die SuS nun beliebige Geldwerte. Womit kann ich mehr kaufen? Mit einem 2€ Stück oder mit einem 50ct Stück, etc.

Alle Euromünzen in 1ct Stücken darstellen. Wie viele 1ct Stücke brauche ich bis die so viel Wert sind wie ein 20ct Stück, etc.

Mit der Klasse Überlegungen anstellen:

Für 10ct = 0.1€ bekomme ich ein Bonbon.

Für 1€ bekomme ich einen Apfel.

Für 10€ ein T-Shirt,

für 100€ fliege ich nach London, etc.

Wie viel von XY kann ich mir mit YZ€ kaufen? Einfache Kassnebeispiele berechnen. Rückgeld von Einkäufen ausrechnen, etc.



Sitzungsmaterialien

Dokumentation der Sitzung

Die Sitzung war in drei Punkte gegliedert. Zu Beginn wurden die Ziele im Zusammenhang mit Größen erläutert. Anschließend wurde der Aufbau von Größenvorstellungen und Stützpunktvorstellungen thematisiert. Hierunter war auch die Arbeitsphase der Sitzung zu finden. Abschließend wurde grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen präsentiert.

A. Ziele im Zusammenhang mit Größen

I. Messen und Größen im Bildungsplan

Mithilfe eines kurzen Brainstormings sollten die Teilnehmer die Aspekte von „Messen und Größen“ im Bildungsplan erarbeiten. Die hierbei erwähnten Aspekte deckten sich größtenteils mit den Standards im Bildungsplan (siehe Folie 3). Die folgende Tabelle dokumentiert die Ergebnisse im Vergleich zum Bildunsplan.

Ergebnisse des Brainstormings Aspekte im Bildungsplan
Rechnen mit Einheiten, Vorstellungen von Größen entwickeln (Realitätsbezug hierbei wichtig), Umgang mit Messgeräten erlernen (Geodreieck Winkelbestimmung, Thermometer, etc.), Grundvorstellungen zu Volumen und Flächen entwickeln, Schätzen,

Messvorgänge, Umgang mit Einheiten (Standardeinheiten), spezifische Größen messen (Längen, Volumina, Flächeninhalte, Winkel, etc.), Schätzen und Vergleichen, Umgang mit Figuren und Körpern und Rechnungen in diesem Zusammenhang durchführen

II. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen

1.Aufbau von Größenbegriffen Hierbei sind im speziellen die Fragen „Was ist diese Größe. Wie messe ich diese Größe“ von zentraler Bedeutung um den Größenbegriff zu durchdringen.

Beispiele:

  • Flächeninhalt= „Was mit der Rasterfolie gemessen wird.“
  • Volumen= „Was mit einem Einheitsmesswürfel gemessen wird.“
  • Länge= „Was mit einem Metermaß gemessen wird.“
  • Gewicht= „ Was mit einer Wage gemessen wird.“

Hierbei können die Größenbegriffe unterschieden werden, da der Zugang zu diesem Größenbegriff über dessen Messgerät erfolgt und diese unterschiedlich sind. Hiermit kann vor allem der Schwierigkeit des Flächeninhaltsbegriffes entgegen gewirkt werden (siehe grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen).

2. Standardrepräsentanten aufbauen für Einheitensystem (Stützpunktvorstellungen)

3. Umwandlung von Einheiten

4. Rechnen mit Größen

Bemerkung: Bei allen Zielen der Leitidee ist das Schätzen ein hilfreicher Vorgang. Schätzen aktiviert die SuS und bestärkt den Zielaufbau. Allerdings bedarf erfolgreiches Schätzen Stützpunktvorstellungen, welche wiederum ein Ziel der Leitidee sind.

III. Abschließende Bemerkung zur Leitidee Messen

Die Leitidee Messen steht nicht isoliert im Bildungsplan. Es bestehen Vernetzungen und Verweise zu anderen Leitideen (beispielsweise der Leitidee Funktionaler Zusammenhang, via: Berechnungsformel als Funktion) und zu prozessbezogenen Kompetenzen (beispielsweise zur p. Kompetenz „Modellieren“, hier gilt es um „messen in alltäglichen Kontexten“. Hierzu wurden die Beispiele Tapezieren, Küche erneuen oder Garten ausmessen präsentiert)

B. Aufbau von Größenvorstellungen

Zu Beginn dieses Gliederungspunktes stand eine kurze Arbeitsphase.

Arbeitsauftrag:

SuS spielen auf einer Wiese Fußball. Sie möchten ein Fußballtor mithilfe von Steinen begrenzen. Beide Tore sollen gleich lang sein. Wie geht das?

Ergebnisse:

  • Richtiges Tor (mit Latte und somit Höhe): Messen mit Körpergröße; einen Pfosten als Normlänge festlegen und andere Längen in diesem Verhältnis ausmessen.
  • Nur Torbegrenzung (Steine als Begrenzung, keine Pfosten oder Latte): Tor mit Füßen ablaufen und somit Fußlänge als Normlänge festlegen; Seil, Stock, Metermaß als alternative Normlängen nehmen zum abmessen.

I. Methodische Stufenfolge

In dieser Inputphase wurde das Stufenmodell zur Größenerarbeitung vorgestellt (siehe Folie 8ff.). Ergänzend siehe Vorbereitungsauftrag. Zusammenfassend gilt:


1.Stufe: Direkter, unmittelbarer Vergleich von Repräsentanten

  • Ziel: Ordnungsrelation Aufbauen
  • Ideen: nebeneinanderstehen (Länge), übereinanderliegen (Flächeninhalt), ineinander (Volumen)

2.Stufen: Mittelbarer Vergleich mit selbst gewählten Einheiten (willkürlichen Maßeinheiten)

  • Ziel: Transitivität aufzeigen
  • Ideen: Siehe Beispiel mit dem Tor: Hierbei mit Körper, Seil, Füße, Stock als willkürliche Maßeinheiten die Längen der Tore vergleichen.

3. Stufe: Vergleich mithilfe von Standardrepräsentanten

  • Ziel: Einführung von Standardeinheiten und Anfang eines Einheitensystems
  • Idee: Standardisierte Messverfahren verwenden, z.B. Tore mit Metermaß abmessen und vergleichen.

4.Stufen: Ausbau des Einheitensystems und Größenvorstellungen aufbauen

  • Ziel: Stützpunktvorstellungen als Standardrepräsentanten für bestimmte Größen aufbauen
  • Idee: Gemeinsam System von Stützpunktvorstellungen erarbeiten (siehe Arbeitsauftrag 2).

5.Stufe: Rechnen und Umwandeln der Einheiten aus dem Einheitensystem

II. Ergebnisse der Diskussion dieses Stufenmodells

  • Kernidee der Stufen 2 und 3 ist die folgende Abfolge:
Maßeinheit finden-> auslegen, zählen, messen-> Einheiten verfeinern->Standardeinheiten erlangen
  • Geldwert im Modell: Zu diesem Punkt entstand eine Diskussion, inwieweit das Modell und die Größe Geldwert kompatibel sind. Als Ergebnis dieser Diskussion wurde festgestellt, dass das Modell eher nicht geeignet ist um hiermit Geld als Größe zu thematisieren. Es wurde erarbeitet, dass der Geldwert als markwirtschaftliche, monetäre Zuschreibung eines Geldwertes zu einem Objekt (der Preis des Objektes) ein sehr abstrakter Größenbereich ist und das Stufenmodell eben nicht für diesen Bereich gilt. Anderseits kam die Idee auf, dass unter Geldwert auch subjektive Wertzuschreibungen zu einem Objekt gemeint sein können. Die Größenvorstellungen einer subjektiven Wertzuschreibung können beispielsweise durch Tauschgeschäfte und Tauschspiele gestärkt und aufgebaut werden. Als Beispiel um solche subjektiven Wertvorstellungen aufzubauen wurde der Tausch „Pulli vs. Laptop“ genannt. Statt die abstrakte Größe Preis zu betrachten und die Zahlen der Preisangabe zu vergleichen wird bei einem Tauschgeschäft die individuelle Wertzuschreibung betrachtet. Die SuS fragen sich selbst, ob sie einen Pulli gegen einen Laptop tauschen würden und entwickeln somit eigene Größenvorstellungen von ihrem subjektiven Geldwert statt Preise und deren Zahlenwerte zu vergleichen.
  • Die Teilnehmer lernten bei der Diskussion über das Modell, dass das Rechnen mit Größen und das Umwandeln von Einheiten nicht am Anfang der Betrachtung, sondern am Ende der Beschäftigung mit Größen stehen sollte. Ebenso wurde die Erkenntnis geschärft, dass das Schätzen und Messen als Tätigkeiten im Unterricht nicht zu kurz kommen sollten. Zusammen mit dem Aufbau von Stützpunktvorstellungen stellen sie die wichtigsten Aspekte bei der Beschäftigung mit Größen dar. Rechnen und Umwandeln wird nur als Zusatz gesehen in diesem Modell.

III. Arbeitsauftrag 1

Auftrag:

Welche Einheiten würden Sie zum messen wählen?

Hierbei wurden die Teilnehmer der Reihe nach gefragt.

Ergebnisse:

Objekt Einheit
Wasser in Badewanne Liter
Wasser in Getränk ml
Geschwindigkeit Auto km/h
Geschwindigkeit Fußgänger km/h oder m/s
Tischfläche m²
Fläche Sportstadion ha
Gewicht Brot g
Gewicht Auto kg

Bei der Geschwindigkeit des Fußgängers gab es eine Diskussion, ob es besser ist in km/h oder m/s zu messen. Es wurde festgestellt, dass km/h besser geeignet ist um Vergleiche herzustellen (z.B. Vergleiche Auto, Zug, Tiere) und im Alltag gebräuchlicher ist während m/s besser geeignet ist um ein Gefühl für die Geschwindigkeit aufzubauen. Außerdem kommt es auf die Situation an. Beispielweise würde ein Jogger bei einem 60min-Lauf seine Geschwindigkeit eher in km/h statt in m/s angeben.

Fazit zu Arbeitsauftrag 1

Es ist wichtig Stützpunktvorstellungen aufzubauen. Diese dienen als Standardrepräsentanten für bestimmte Einheiten und erlauben eine Vorstellung von einer Größe in dieser Einheit (Bsp: 1kg ist das Gewicht von einer Packung Zucker). Zusätzlich sind Stützpunktvorstellungen auch Voraussetzung für das erfolgreiche Schätzen und die geeignete Wahl von Messeinheiten bei Messvorgängen.

IV. Arbeitsauftrag 2: Einheitensystem

In dieser Phase erarbeiteten sich die Teilnehmer in zwei Gruppen ein Einheitensystem zu den Größen Länge, Flächeninhalt und Volumen. Der Arbeitsauftrag lautete: „Überlegen Sie sich geeignete Stützpunktvorstellungen in Sek I."


Ergebnisse:

Länge km m dm cm mm
Stützpunktvorstellung 2.5 mal eine Runde auf dem Sportplatz Schritt Handlänge Fingernagelbreite Dicke Geodreieck
Flächeninhalt ha 10a 1a 10m² 1m² 10dm² 1dm² 10cm² 1cm²
Stützpunktvorstellung Sportplatz Bauplatz Wohung Kleines Zimmer Tafelseite DIN A3 Ritter Sport Tafel Motivbriefmarken Würfeleite Spielwürfel
Volumen 100m³ 1m³ 100dm³= 100l 10dm³= 10l 1dm³= 1l 100cm³ 10cm³ 1cm³= 1ml
Stützpunktvorstellung Schwimmbecken großer Müllcontainer Badewanne 10l Putzeimer Milchpackung kleines Glas Duplostein (3er) Spielwürfel
Fazit von Arbeitsauftrag 2

Es wurden in dieser Phase geeignete Stützpunktvorstellungen für die Sek. I erarbeitet. Hierbei ist es den Teilnehmern selbst schwer gefallen für bestimmte Einheiten (z.B. 10a, 1 km) geeignete Stützpunktvorstellungen zu finden. Im Idealfall wäre für eine Einheit unmittelbar ein passender Repräsentant aus der Realität als Stützpunktvorstellung im Kopf. Dies verdeutlicht die Notwendigkeit Stützpunktvorstellungen bei SuS aufzubauen und nicht den Fokus auf Rechnen und Umwandeln zu legen. Die unterrichtspraktische Erkenntnis lautete somit: Stützpunktvorstellungen im Unterricht aufbauen, um das Schätzen zu verbessen.

Es gilt:

„Stützpunktvorstellungen sollen ebenso zum Schätzen verfügbar sein wie Grundrechenarten zum Rechnen“

C. Grundsätzliches zu Flächeninhalt und Volumen

In der letzten Inputphase wurde in knapper Form die wichtigsten Fehler und Vorstellungen zum Thema Flächeninhalt und Volumen präsentiert (siehe Folien 13ff.). Die wichtigsten Erkenntnisse werden hier vorgestellt:

  • Verwechslung von Länge, Umfang, Flächeninhalt, Volumen sind oftmals Ursache für falschen Umgang mit Größen.
  • Dem Begriff Flächeninhalt liegen 4 Schwierigkeiten zugrunde:
  1. Keine Vorerfahrungen mit Flächeninhalt aus dem Alltag
  2. Flächeninhalte werde selten gemessen, meistens berechnet
  3. Fehlende visuelle Präsentation der Fläche als Träger der Eigenschaft Flächeninhalt (bei Skizzen wird die Fläche selten schraffiert, obwohl sie ja existent ist)
  4. Fehlende Sprachliche Unterscheidung zwischen Fläche und Flächeninhalt:
„ Wie groß ist die Fläche des Rechteckes“ muss heißen „Wie groß ist der Flächeninhalt der Rechtecksfläche“.
  • Unterrichtspraktischer Tipp: Stützpunktvorstellungen über praktische, experimentelle Zugänge aufbauen. Beispielweise durch auslegen, ablaufen, umfüllen, wiegen…
  • Keine formal mathematische Begriffsfestlegung sondern der Aufbau von Stützpunktvorstellungen steht zu Beginn im Zentrum (vgl. Ziele der Leitidee Messen und Rechnen, Aufbau von Größenbegriffen)
  • Keine formalen Umrechnungszahlen nutzen (da diese verwirrend sind).
  • Flächeninhalt eines Rechtecks und dessen Einheit über „Länge x Breite x Einheitsquadrate“ einführen. Die bedeutet: dm² über „1dm² = 1dm x 1dm = 10cm x 10cm = 100 cm²“ einführen und nicht als Ergebnis von Umrechnungszahlen.

Nachbereitungsauftrag

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum Begriffslernen (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

  1. Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der Aufgabenstellung-Spalte.
  2. Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die Erwartungshorizont-Spalte ein.
  3. Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den übergreifenden Literaturhinweise sind insbesondere relevant:

Ergebnisse der Nachbereitung

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

Aufgabenstellung Erwartungshorizont Diskussion

Häufig bereitet der Flächeninhaltsbegriff im Vergleich zu anderen, in der Schule behandelten Größenbegriffen die größten Schwierigkeiten für SuS.

Nennen und erläutern Sie kurz drei mögliche Ursachen für diese Schwierigkeiten.

Mit welchen Maßnahmen könnten Sie diesen als Lehrperson zukünftig entgegenwirken?

Ursache 1: Fehlende Messprozesse

Flächeninhalte werden von SuS nur selten oder nie selbst gemessen. In den meisten Fällen kennen sie nicht einmal ein geeignetes Messgerät für das Bestimmen von Flächeninhalten. Im Unterricht werden Flächeninhalte meist lediglich berechnet. Für die Berechnungen sind nur Längenangaben zu den Seiten einer Figur nötig. Entsprechend verwechseln SuS den Flächeninhalt nicht selten mit dem Umfang einer Figur, da ihnen der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß nicht bewusst ist.

Ursache 2: Mangelnde Erfahrungen im Alltag

Nur die wenigsten SuS können in ihrem Alltag bereits Vorerfahrungen zu Flächeninhalten sammeln. Grund dafür ist, dass der Umgang mit Flächeninhalten im alltäglichen Leben - im Gegensatz zum Umgang mit Rauminhalten oder Gewichten - nur selten erforderlich ist.

Ursache 3: Linien- statt Flächenfiguren

Der Unterschied zwischen Längen- und Flächenmaß wird außerdem dadurch „verwischt“, dass Figuren in Schulbüchern oftmals als Linien- und nicht als Flächenfiguren dargestellt werden. Dreiecke, Rechtecke und Kreise werden häufig nur durch ihre Umrisslinien präsentiert, weshalb SuS nur unzureichend wahrnehmen, dass die Figuren auch eine gewisse Fläche besitzen.

Um den Schwierigkeiten beim Umgang mit Flächeninhalten entgegenzuwirken, sind die folgenden Maßnahmen empfehlenswert:

1. SuS entwickeln ein Verständnis für den Flächeninhalt als Größe, die von Längen zu unterscheiden ist, indem sie Flächeninhalte verstärkt durch Verwendung von geeigneten Flächenmessgeräten (z.B. Rasterfolien) selbst direkt ausmessen.

2. Gemeinsam wird ein System von Standardrepräsentanten für Flächeninhalte aufgebaut. Die dazugehörigen Vorstellungen können durch Schätzaufgaben tiefer im Gedächtnis der SuS verankert werden.

3. Ebene Figuren werden nicht als Linien- sondern als Flächenfiguren dargestellt.

Die Aufgabe eignet sich dazu, den Prozess des Aufbaus von Größenvorstellungen und mögliche, dabei auftretende Schwierigkeiten aus Schülersicht zu reflektieren.

Welche Aufgaben / Aktivitätsformen können zur Unterscheidung von nahen Größenpaaren, wie z.B. Gewicht & Volumen, Umfang & Flächeninhalt, Oberfläche & Rauminhalt, im Unterricht eingesetzt werden? Entscheiden Sie sich für ein Größenpaar und geben Sie eine konkrete geeignete Aufgabe für die SuS an, um den Unterschied der beiden verschiedenen Größen herauszuarbeiten und erläutern Sie, weshalb Sie sich für diese Aktivität entschieden haben. Nennen Sie ebenfalls Gründe, warum es für SuS schwer ist, diese beiden Größen zu unterscheiden.

Zum Beispiel Umfang & Flächeninhalt:

Jede/r SuS bekommt ein Kärtchen mit Beispielen für Umfang & Flächeninhalt (z.B. Zaun, Rasen, ). In einer Ecke des Klassenzimmers steht ist ein Plakat mit der Überschrift Umfang, in der anderen Ecke eines mit der Überschrift Flächeninhalt. Die SuS sollen zur passenden Ecke gehen und gemeinsam vergleichen, ob sie richtig stehen. Wenn sich alle in der richtigen Ecke eingefunden haben, werden die Kärtchen auf das jeweilige Plakat geklebt und im Klassenzimmer aufgehängt. Zusätzlich könnte man die Begriffe noch nach Größen ordnen lassen, um eine bessere Größenvorstellungen zu bekommen.

Durch diese Aufgabe, werden die SuS nicht nur kognitiv, sondern auch körperlich aktiviert. Die SuS müssen kommunizieren und gemeinsam zu einer Lösung kommen. Ein Grund für die Schwierigkeit der Unterscheidung von Flächeninhalt und Umfang ist zum einen, dass der Flächeninhalt fast nie gemessen, sondern meistens berechnet wird. Außerdem wird der Flächeninhalt oft einfach als Linienfigur graphisch dargestellt, was zur Verwechslung mit dem Umfang führen kann.

Durch diese Aufgabe wird das Thema der Größen inklusive der Repräsentanten und Einheiten aufgegriffen. Außerdem wird durch die Überlegung einer konkreten Aktivität für die SuS ein direkter Bezug zur Unterrichtspraxis hergestellt und es wird sich in ein Unterrichtsgeschehen versetzt. Problematiken im Umgang mit der Unterscheidung von Größen werden herausgearbeitet um diesen entgegenzuwirken.

Führen Sie sich den Größenbereich der "Zeitdauer" vor Augen und wenden diesen auf die Grundprinzipien des Messens an. Welche Möglichkeiten für unterrichtliche Umsetzungen bieten sich? Welche Bereiche bereiten Schwierigkeiten und wie könnte man diesen entgegenwirken? Welche Besonderheiten charakterisieren den Größenbereich der "Zeitdauer" im Vergleich zu anderen Ihnen bekannten Größenbereichen?

Vergleichsaspekt:

  • Die SuS bauen auf intuitiven Verständnissen und Wahrnehmungen von Zeitdauer auf, welche zudem situationsabhängig sind (ob eine Unterrichtsstunde von 45 Minuten als "lang" empfunden wird, hängt beispielsweise vom Thema und der Unterrichtsgestaltung, aber auch von Aufmerksamkeitsspanne und Interesse der SuS ab). Dies ist definitiv eine Schwierigkeit im Umgang mit dem Größenbereich "Zeitdauer".
  • Der Vergleich von Zeitangaben wie "3 h", "1 Tag", "30 Sekunden" funktioniert entweder intuitiv oder anhand des Einheitensystems. Dieser Aspekt lässt sich sehr gut auf die Zeitdauer anwenden.
  • Schwierigkeit hierbei kann es jedoch sein, dass das aus anderen Größenbereichen bekannte Einheitensystemen nicht auf die Zeitdauer angewedet werden kann. Statt 100 Sekunden enthält eine Minute lediglich 60 Sekunden. Durch diese Schwierigkeit wird auch das Umrechnen im Einheitensystem der Zeitdauer zu einer größeren Herausforderung und ebenso der Vergleich von Größen. Dem entgegenwirken ließe sich beispielsweise über einen sehr grundlegenden Ansatz, der die analoge Uhr (nicht die weit verbreitete Digitalanzeige) als Ausgangspunkt nimmt und daher begründet, warum eine Minute 60 Sekunden hat usw.

Messen-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt:

  • Für grundlegende Herangehensweisen ließe sich ggf. ebenso mit dem Ziffernblatt arbeiten (beispielsweise indem man es vierteilt und auf diese Art und Weise die Sprechweise "Viertel vor / Viertel nach" begründet bzw. nachvollziehbar macht).
  • Ansonsten bietet dieser Aspekt des Messens im Kontext von "Zeitdauer" einige Schwierigkeiten. Er lässt sich beispielsweise nicht so anschaulich darstellen wie das Auslegen eines Rechtecks mit Einheitsquadraten.

Messgerät-Aspekt:

  • Hier fällt es wieder leichter, konkrete Bezüge herzustellen: Der Umgang mit Zeitangaben und "Zeitdauer" ist im Unterricht in der Regel mit Messgeräten verbunden. Insbesondere Uhren (digital / analog) und / oder Stoppuhren dürften immer wieder Einsatz finden, wenn es um das Messen von "Zeitdauer" geht.
  • Auch hier existiert jedoch eine Schwierigkeit: Die Zeitangaben eines Ziffernblatts mit denen einer Digitalanzeige in Beziehung zu setzen, mag den SuS schwerfallen, bietet aber zugleich die Möglichkeit, den Größenbereich "Zeitdauer" wirklich gut zu durchdenken und zu verstehen.

Messen-als-Berechnen-Aspekt:

  • Der richtige Umgang mit dem Einheitensystem spielt hierbei eine große Rolle. Ist den SuS dieses bekannt, so sind sie dazu in der Lage, gemessene Zeitdauern umzurechnen.
  • Schwierigkeiten des Einheitensystems wurden weiter oben und im Vorbereitungsauftrag bereits thematisiert.


Diese Aufgabe vertieft zum einen das Verständnis der Grundprinzipien des Messens und fordert zum anderen dazu auf, diese an einem konkreten Größenbereich durchzuspielen. Dadurch kann zusätzlich auch das Verständnis für den Größenbereich "Zeitdauer" verstärkt werden. Insbesondere die speziellen Herausforderungen und Anforderungen dieses Größenbereichs werden vor Augen geführt und die Aufgabe fordert dazu auf, sich in die SuS und ihren aktuellen Wissens- und Kenntnisstand hineinzuversetzen.

Hannah steht vor der folgenden Aufgabe: "Die Fläche der Bundesrepublik Deutschland beträgt etwa 357.386 km². Wie viele Quadratmeter sind das?" Im Mathematikunterricht hat sie bereits gelernt, dass der Buchstabe "k" in der Einheitsangabe für "kilo" steht, was so viel wie "tausend" bedeutet. Sie sagt: "Ein Kilogramm, das sind eintausend Gramm. Genauso funktioniert das mit Längen. Ein Kilometer, das sind eintausend Meter. Es reicht also mit 1000 zu multiplizieren." Sie schlussfolgert: "Die Fläche unserer Bundesrepublik in Quadratmetern beträgt 357.386.000."

  • Welchen Fehler hat Hannah gemacht?
  • Warum könnte diese Fehlvorstellung entstanden sein?
  • Welche Ansätze für den Unterricht fallen Ihnen ein, um solche Fehlschlüsse zu vermeiden?
  • Hannah nutzte eine simple Analogie um einen scheinbar logischen Schluss zu ziehen. Sie fällt der Sprache der Mathematik zum Opfer, aus der nicht direkt deutlich wird, das Flächen und damit auch ihre Einheiten quadratisch wachsen. Die Fläche der Bundesrepublik beträgt demnach 357.386.000.000m². Man multipliziert die Größe also doch mit dem Faktor eintausend, jedoch tut man dies einmal pro Raumdimension der Größe.
  • Hannah hat leider nicht verstanden/nicht gelernt, dass Flächeninhalte quadratisch wachsen und sich ihre Einheiten ebenso verhalten. Sie zieht direkte Schlüsse aus den linearen Größen wie Längen und Gewicht und überträgt diese analog auf den Flächeninhalt.
  • Zu allererst ist es wichtig diesen Sachverhalt direkt im Unterricht zu thematisieren. Das Umrechnen von Flächeneinheiten muss ebenso geübt werden, wie das Umrechnen von Längeneinheiten geübt wurde. Dabei können Grundvorstellungen geschaffen und Eselsbrücken gefunden werden, wie beispielsweise der Bezug zur Dimension. Die Fläche verändert sich in zwei Richtungen, demnach muss die bekannte Längenumrechnung in beide Richtungen berücksichtigt werden. Diese Tatsache kann auch konkret erfahrbar gemacht werden, indem man im Unterricht konkrete Flächen mit unterschiedlichen Einheiten ausmisst. Hier wird der Vergleich/der Umrechnung von Einheiten direkt sichtbar. Weiterhin hilft es, eine Vorstellung für Größenordnungen zu besitzen. Dies ist vorallem bei der Umrechnung von kleineren Einheiten wie mm², cm², dm² oder m² hilfreich, denn mögliche Rechenfehler können durch einen schnellen Sanity-Check schnell entlarvt werden, beispielsweise durch einen Vergleich mit der Fläche eines realen Gegenstands aus der Alltagswelt (zB Zimmer, Fingernagel, Stecknadelkopf etc.). Schwieriger wird diese Methode bei Größenordnungen, die nicht im Alltag auftreten oder schwer zu begreifen sind, wie beispielsweise der Fläche von Ländern.

Das gestellte Problem stellt eine realistische Situation im Alltag eines Didaktikers dar und thematisiert mögliche Schwierigkeiten im Bezug auf das Messen und Vorstellungen die damit verbunden sind.


In einem Schulbuch findet sich neben einer Karte vom Südpol mit geeigneten Maßstab die folgende Aufgabe:

Nutze ein Einheitsquadrat mit Kantenlänge 1000km [im Maßstab] um Näherungsweiße die Größe des Südpols zu bestimmen.

  • Welche Möglichkeiten gibt es die Aufgabe zu lösen?
  • Wie könnte man zu einem genaueren Ergebnis gelangen?
  • Wo könnten Probleme auftreten und warum?
  • Die Aufgabe zielt auf den Messe-durch-Auslegen-und-Zählen-Aspekt ab. Die Fläche des Südpols kann mit den Einheitsquadraten ausgelegt und/oder überdeckt werden und so mittels deren Anzahl die Fläche des Südpols geschätzt werden.
  • Nicht nur das Quadrat zum auslegen verwenden sondern auch Dreiecke, etc. die besser die Fläche des Südpols abbilden. Falls der Flächeninhalt eines Kreises schon behandelt wurde könnte man auch diesen als mögliche Annäherung in Betracht ziehen.
  • Den Schülerinnen und Schülern muss klar sein, dass es einen Unterschied zwischen auslegen und überdecken gibt und dieser nicht vermischt wird. [Vergleiche Untersumme/Obersumme beim Integral.]

Das gestellte Problem kommt in dieser Form tatsächlich in einigen Schulbüchern vor und soll den Zerlegeaspekt im Bezug auf Flächen hervorheben.

  • Welche verschiedenen Sequenzierungen ausgehend vom Rechteck fallen Ihnen ein, um den Flächeninhalt von Parallelogrammen, Dreiecken, beliebigen Vier- und Vielecken einzuführen?
  • Welche Fehlvorstellungen können bei den SuS auftreten und wie könne diese vorgebeugt werden?
  • Nenne zwei weitere Medien, die bei der Einführung von Flächeninhaltsberechnungen von Parallelogrammen helfen können? Wie können Sie genutzt werden?
  • a. Rechteck -> Parallelogramm -> Dreieck -> beliebige Vier- und Vielecke
b. Rechteck -> Dreieck -> Parallelogramm -> beliebige Vier-und Vielecke
  • SuS könnten a priori davon ausgehen, dass sich der Parallelogrammflächeninhalt analog zu dem Rechtecksflächeninhalt berechnen lässt. Durch die Untersuchung von umfangsgleichen Parallelogrammen beispielsweise mit Hilfe von Gelenkparallelogrammen können, die SuS diesen Irrglauben sehr anschaulich enttarnen. („Wie groß muss der Scherungswinkel sein, damit sich der Flächeninhalt halbiert?“ ist eine geeignete und interessante Frage, um das Verständnis der SuS zu testen.)
  • Geobrett mit Schieber: SuS erkennen, dass auch nach der Scherung von Rechteck zu Parallelogramm in jeder Zeile der gleiche Flächeninhalt erhalten bleibt (inhaltsgleiche Parallelogramme; Prinzip von Cavalieri).
Parallelogrammschieber: Durch Ziehen an dem Schieber entsteht innen eine freie Parallelogrammfläche und außen eine gleichgroße Rechtecksfläche, da kein Flächeninhalt vernichtet werden kann. (Der Flächeninhalt wurde nur transaltiert; Das was an Flächeninhalt dazugekommen ist (Rechtecksfläche) entspricht, das dem Flächeninhalt, welcher innen fehlt (Parallelogramm). Dieses Medium macht Zusammenhang zwischen der Größe Flächeninhalt und der Formel zur Berechnung sehr anschaulich deutlich.

Die Berechnung von Flächeninhalten insbesondere von Parallelogrammen erweist sich in der Praxis oftmals als schwierige Aufgabe für SuS. Das zahlreiche Anwenden der Formeln trägt dabei nicht nachhaltig zum Verständnis bei; die Formeln werden schnell vergessen oder verwechselt. Aus diesem Grund ist wichtig verschiedene Sequenzierungen zu kennen, Fehlvorstellungen vorzubeugen und unterschiedliche mediale Zugänge zu nutzen, um dadurch nachhaltig für ein tiefes Verständnis von Messungen/Berechnungen von Flächeninhalten zu sorgen.

Literaturhinweise

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