Geradenspiegelungen: Unterschied zwischen den Versionen
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::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung. | ::Jede Geradenspiegelung <math>\ S_g</math> ist eine abstandserhaltende Abbildung. | ||
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+ | Beweis: | ||
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+ | Es seien <math>\ A</math>, <math>\ B</math> zwei Punkte, die an einer Geraden <math>\ g</math> auf ihre Bilder <math>\ A'</math> und <math>\ B'</math> gespiegelt werden. | ||
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+ | Wir unterscheiden drei Fälle: | ||
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+ | 1. <math>\ A, B</math> <math>\in</math> <math>\ g</math> | ||
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+ | Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt. | ||
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+ | 2. <math>\ A</math> <math>\in</math> <math>\ g</math>, <math>\ B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math> | ||
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+ | Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math> | ||
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+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beschreibung des Schrittes | ||
+ | ! Begründung der Korrektheit des Schrittes | ||
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+ | | <math>\ A</math> = <math>\ A'</math> | ||
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+ | | <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> | ||
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+ | | Es handelt sich um dieselbe Gerade. | ||
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+ | | <math>\| \angle BLA| = | \angle B'LA'|</math> = 90° | ||
+ | | <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{BB'}</math> | ||
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+ | | 5. | ||
+ | | <math>\overline {ABL}</math> kongruent <math>\overline {A'B'L}</math> | ||
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+ | 3.<math>\ A, B</math> <math>\notin</math> <math>\ g</math> | ||
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+ | Den Schnittpunkt von <math>\overline {BB'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ L</math> | ||
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+ | Den Schnittpunkt von <math>\overline {AA'}</math> mit <math>\ g</math> bezeichnen wir mit <math>\ M</math> | ||
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+ | {| class="wikitable center" | ||
+ | |+ Beweis<br /> | ||
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+ | |- style="background: #DDFFDD;" | ||
+ | ! Nr. | ||
+ | ! Beschreibung des Schrittes | ||
+ | ! Begründung der Korrektheit des Schrittes | ||
+ | |- | ||
+ | | 1. | ||
+ | | <math> | \overline {AM}| = | \overline {A'M}|, \overline {ML} = \overline{ML}, | \angle AML| = | \angle A'ML |</math> = 90° | ||
+ | | <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 2. | ||
+ | | <math>\overline {AML}</math> kongruent <math>\overline {A'ML}</math> | ||
+ | | 1. | ||
+ | |- | ||
+ | | 3. | ||
+ | | <math> | \angle MAL| = | \angle ALB |</math> und <math> | \angle MA'L| = | \angle A'LB' |</math> | ||
+ | | Wechselwinkelsatz, da <math>\overline {AA'} || \overline {BB'}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 4. | ||
+ | | <math> | \angle MAL| = | \angle MA'L |</math> --> <math> | \angle ALB| = | \angle A'LB' |</math> | ||
+ | | 2. + 3. | ||
+ | |- | ||
+ | | 5. | ||
+ | | <math> | \overline {BL}| = | \overline {B'L}|</math> | ||
+ | | <math>\ g</math> ist Mittelsenkrechte von <math>\overline{AA'}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | 6. | ||
+ | | <math> | \overline {AL}| = | \overline {A'L}|</math> | ||
+ | | 2. | ||
+ | |- | ||
+ | | 7. | ||
+ | | <math> | \overline {ABL}| = | \overline {A'B'L}|</math> | ||
+ | | 4. + 5. + 6. + SWS | ||
+ | |- | ||
+ | | 8. | ||
+ | | <math> | \overline {AB}| = | \overline {A'B'}|</math> | ||
+ | | 7. | ||
+ | |} | ||
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Version vom 28. Oktober 2010, 12:44 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Konstruktion des Bildes eines Punktes
bei einer Spiegelung an der Geraden ![\ g](/images/math/4/d/5/4d5f9a9c0c66d9c6a2d8c9bcb870360b.png)
Übungsaufgabe
Es sei ein Punkt der Ebene der nicht zur Geraden
dieser Ebene gehört.
Erstellen Sie eine Konstruktionsbeschreibung für die Konstruktion des Bildes von
bei der Spiegelung an
. Begründen Sie jeweils die Korrektheit eines jeden Ihrer Konstruktionsschritte.
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|
1. | Wir fällen das Lot von ![]() ![]() ![]() ![]() |
So bestimmen wir die kürzeste Strecke zwischen dem Punkt ![]() ![]() ![]() ![]() |
2. | Nun tragen wir die Strecke ![]() ![]() |
Durch das Abtragen der Strecke bekommen wir auf beiden Seiten derHalbgeraden den gleichen Abstand vond er Geraden ![]() |
3. | Den entstandenen Punkt bezeichnen wir mit ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Definition des Begriffs
Definition 2.1: (Spiegelung an der Geraden
)
- Es sei
eine Gerade. Unter der Geradenspiegelung
versteht man eine ....
- Es sei
- Es sei
eine Gerade und P ein Punkkt der Ebene. Unter der Geradenspiegelung
versteht man eine Abbildung der Ebene auf sich:
- Es sei
(1) Für den Fall dass P
: P = P'
(2) Für den fall dass P
: Die Gerade
ist Mittelsenkrechte der Strecke zwischen dem Punkt P und seinem Bildpunkt P'
Die Geradenspiegelung als spezielle Bewegung
Satz 2.1: (Abstandserhaltung von Geradenspiegelungen)
- Jede Geradenspiegelung
ist eine abstandserhaltende Abbildung.
- Jede Geradenspiegelung
Beweis:
Es seien ,
zwei Punkte, die an einer Geraden
auf ihre Bilder
und
gespiegelt werden.
Wir unterscheiden drei Fälle:
1.
Der Beweis ist trivial, da es sich bei dieser speziellen Geradenspiegelung um die Identität handelt.
2.
,
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|
1. | ![]() ![]() |
Definition Geradenspiegelung |
2. | ![]() |
![]() ![]() |
3. | ![]() |
Es handelt sich um dieselbe Gerade. |
4. | ![]() |
![]() ![]() |
5. | ![]() ![]() |
2. + 3. + 4. + SWS |
6. | ![]() |
5. |
|}
3.
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Den Schnittpunkt von mit
bezeichnen wir mit
Nr. | Beschreibung des Schrittes | Begründung der Korrektheit des Schrittes |
---|---|---|
1. | ![]() |
![]() ![]() |
2. | ![]() ![]() |
1. |
3. | ![]() ![]() |
Wechselwinkelsatz, da ![]() |
4. | ![]() ![]() |
2. + 3. |
5. | ![]() |
![]() ![]() |
6. | ![]() |
2. |
7. | ![]() |
4. + 5. + 6. + SWS |
8. | ![]() |
7. |
|}