Lösung von Aufg. 10.1: Unterschied zwischen den Versionen
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(Die Seite wurde neu angelegt: Es sei <math>\ \Epsilon</math> eine Ebene, die durch die Gerade <math>\ g</math> in die beiden Halbebenen <math>\ gQ^+</math> und <math>\ gQ^-</math> eingeteilt wird. F...) |
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Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math> | Beweisen Sie: <math>\ gR^+ \equiv gQ^-</math> und <math>\ gR^- \equiv gQ^+ </math> | ||
+ | == Lösung --[[Benutzer:Schnirch|Schnirch]] 13:10, 14. Jul. 2010 (UTC)== | ||
+ | Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:<br /> | ||
+ | '''Voraussetzung:''' <math>\ {gQ}^{+}</math> und <math>\ {gQ}^{-}</math>; <math>R \in {gQ}^{-} </math> mit <math>R \not \in g </math> | ||
+ | <br />'''Behauptung:''' 1) <math>{gR}^{+} \equiv {gQ}^{-}</math> und 2) <math>{gR}^{-} \equiv {gQ}^{+}</math>, d. h. <br\> | ||
+ | zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:<br /> | ||
+ | a) <math>\forall P\in {gQ}^{-} \Rightarrow P\in {gR}^{+}</math> und b) <math>\forall P\in {gR}^{+} \Rightarrow P\in {gQ}^{-}</math><br\> | ||
+ | sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:<br /> | ||
+ | Fall 1: nkoll(''P,Q,R'')<br /> | ||
+ | Fall 2: koll(''P,Q,R'')<br /> | ||
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+ | '''Beweis zu 1a, Fall 1:''' | ||
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+ | | <math>\overline {PQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> | ||
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+ | | <math>\ R\in {gQ}^{-}</math> | ||
+ | | nach Vor. | ||
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+ | | <math>\overline {RQ} \cap g \neq \lbrace \rbrace </math> | ||
+ | | (III) und Definition Halbebene | ||
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+ | | <math>\overline {RP} \cap g = \lbrace \rbrace </math> | ||
+ | | (II), (IV), Axiom v. Pasch | ||
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+ | | <math>\ P\in {gR}^{+}</math> | ||
+ | | (V) und Definition Halbebene | ||
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+ | Fall 2, analog zur Lösung in der Probeklausur<br /> | ||
+ | 1b) analog zur hier vorgestellten Lösung<br /> | ||
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Version vom 19. Januar 2011, 15:52 Uhr
Es sei eine Ebene, die durch die Gerade in die beiden Halbebenen und eingeteilt wird. Ferner sei ein Punkt der Halbebene , der nicht auf der Trägergeraden liegen möge. Beweisen Sie: und
Lösung --Schnirch 13:10, 14. Jul. 2010 (UTC)
Die eigentliche Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, zu erkennen, was denn alles zu zeigen ist um die Aufgabe zu lösen:
Voraussetzung: und ; mit
Behauptung: 1) und 2) , d. h.
zu 1) Wir haben die Identität zweier Halbebenen zu zeigen, d. h. das gilt:
a) und b)
sowohl bei a) als auch bei b) müssen wir dann noch jeweils zwei Fälle unterscheiden:
Fall 1: nkoll(P,Q,R)
Fall 2: koll(P,Q,R)
Beweis zu 1a, Fall 1:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | nach Vor. | |
(II) | nach Definition Halbebene | |
(III) | nach Vor. | |
(IV) | (III) und Definition Halbebene | |
(V) | (II), (IV), Axiom v. Pasch | |
(VI) | (V) und Definition Halbebene |
Fall 2, analog zur Lösung in der Probeklausur
1b) analog zur hier vorgestellten Lösung
2) analog zu 1)