Lösung von Aufgabe 5.5 (SoSe11): Unterschied zwischen den Versionen
Flo 21 (Diskussion | Beiträge) |
Flo 21 (Diskussion | Beiträge) |
||
| Zeile 12: | Zeile 12: | ||
Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c | Annahme: <math>\ a \| b \land b \| c \Rightarrow</math> a nicht parallel zu c | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | |||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
| Zeile 26: | Zeile 25: | ||
|- | |- | ||
||| Widerspruch zur Vor. | ||| Widerspruch zur Vor. | ||
| − | | | + | |} |
| − | + | ||
<br />b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) | <br />b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --[[Benutzer:Flo 21|Flo 21]] 15:30, 5. Mai 2011 (CEST) | ||
| − | |||
| − | |||
[[Category:Einführung_Geometrie]] | [[Category:Einführung_Geometrie]] | ||
Version vom 5. Mai 2011, 14:46 Uhr
Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: 
.
b) Welche Eigenschaft der Relation 
auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?
Ich mache mal einen Anfang:
Vor.: a, b und c sind drei paarweise versch. Geraden
Beh.: .
Annahme: 
a nicht parallel zu c
| Beweisschritt | Begründung |
| 1) a,b,c sind 3 paarweise versch. Geraden | Vor. |
| 2) es existiert ein Pkt A, der nicht auf der Geraden liegt | Axiom I/0 |
| 3) durch A geht eine Gerade, die parallel zu a ist | 2), Parallelenaxiom |
| 4) eine weitere Gerade geht durch A und ist nicht parallel zu a | Def. Schnittpkt von Geraden |
| Widerspruch zur Vor. |
b) Wenn eine Gerade a parallel zu einer Gerade b ist und eine Gerade b zu einer Geraden c pparallel ist, dann ist auch eine Gerade a zu einer Geraden c parallel. Durch das "und" wird deutlich, dass beide Teilaussagen wahr sein müssen, damit die Gesamtaussage wahr wird. --Flo 21 15:30, 5. Mai 2011 (CEST)
