Tangentenkriterium: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 24. Juli 2011, 18:14 Uhr

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1 Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$\ t \cap k = \lbrace A\rbrace \Rightarrow MA \perp \ t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $\ t \cap k = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: $MA \perp \ t$

Annahme: $\ MA \not\perp \ t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. $\operatorname(Zw) (C, B, A)$ und $\|CB\| = \|BA\|$	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$\|\angle MBA \| = \|\angle MBC\| = 90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA} \cong \overline{MBC}$	SWS, (2), (3) und weil trivialerweise $\overline{MB}$ zu sich selbst kongruent ist.
5	Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) $\|MC\| = \|MA\| = r$ nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)
Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--Tutorin Anne 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)

Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --Flo60 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace \Rightarrow$ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Voraussetzung: $MA \perp \ t \wedge k \cap t = \lbrace A\rbrace$
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $S \neq A \wedge \ t \cap k = \lbrace S\rbrace$

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$\left\| MA \right\| = \left\| MS \right\|$	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$\|\angle MAS\| = \|\angle MSA\| = 90$	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST) Gut! Aber auch hier lieber ein paar Schritte mehr!--Tutorin Anne 16:34, 24. Jul. 2011 (CEST)

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 | 1 || Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B. || Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
 |-
-| 2 || Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. <math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> und |CB| = |BA| || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
+| 2 || Es existiert genau ein Punkt C für den gilt, dass o. B. d. A. <math>\operatorname(Zw) (C, B, A)</math> und <math>|CB| = |BA|</math> || Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
 |-
 | 3 || <math>|\angle MBA | = |\angle MBC| = 90</math> || nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 | 4 || <math>\overline{MBA} \cong \overline{MBC}  </math> || SWS, (2), (3) und weil trivialerweise <math> \overline{MB}</math> zu sich selbst kongruent ist.
 |-
-| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) |MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
+| 5 || Somit ist nach der Dreieckskongruenz und aus (4) <math>|MC| = |MA| = r</math> nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.
 |}
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 --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)<br />
 Beweisidee und Begründung ist richtig. Schöner wäre der Beweis sicher, wenn du mehrer kleinen Schritte aufführst, anstatt mit 6 Begründungen einen riesen Schritt durchführst.--[[Benutzer:Tutorin Anne|Tutorin Anne]] 16:31, 24. Jul. 2011 (CEST)
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+Danke für den Hinweis, das Wiki streicht viele Aspekte heraus, wenn man mit "|" in der Tabelle arbeitet - ich habs geändert. --[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 19:14, 24. Jul. 2011 (CEST)
 ===== Satz 2: (Tangente am Kreis) =====

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