Lösung von Aufgabe 3.5 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

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Voraussetzungen:
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<math>\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB}</math>  der Mittelpunkt der Strecke AB ist der Punkt C
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<math>\angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB} = 90</math>° m ist die Mittelsenkrechte; D ein exemplarisch verwendeter Punkt auf m
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Behauptung:
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<math>m = \left\{ {\forall P:\left| PA \right| = \left| PB \right|  } \right\}</math> Alle Punke mit der Eigenschaft, dass der Abstand zu A und B gleich ist, bilden die Mittelsenkrechte
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Beweis:
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<math>\left| AC \right| = \left| BC \right|  \wedge \left| CD \right| = \left| CD \right| \wedge \angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB}\Rightarrow \left| AD \right| = \left| BD \right|</math> SsW Die dreiecke sind konguent, somit muss auch der Abstand identisch sein. Somit liegt D auf m
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Annahme:
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<math>\exists P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right|</math>
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Beweis Teil 2:
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<math>P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right| \Rightarrow \overline{PM} \neq m</math> Es muss dan also eine Gerade geben welche die Punke P und M schneidet jedoch nicht die Mittelsenkrechte ist, sonst wäre ja P Element m
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<math>\angle \overline{PM},\overline{AC} \neq \angle \overline{PM},\overline{BC}</math> Da es dich nicht um die Mittelsenkrechte handelt, müssen die Winkel auch unterschiedlich sein.
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<math>\overline{MP} =\overline{MP} \wedge \left| AP \right|= \left| PB \right| \wedge \overline{AC} = \overline{BC} \Rightarrow \angle \overline{PM},\overline{AC} = \angle \overline{PM},\overline{BC}\lightning</math> SSS - Wenn die drei Seiten des Dreiecks konguent sind müssen die Winkel es auch sein. Also muss P Element m sein. --[[Benutzer:RicRic|RicRic]]
  
  
 
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Version vom 1. November 2011, 15:42 Uhr

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke \overline{AB} ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von \overline{AB} verläuft und zu dieser Strecke \overline{AB} senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke \overline{AB} ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).


Mittelsenk.png


Voraussetzungen:

\overline{AB} = \overline{AC} + \overline{CB} der Mittelpunkt der Strecke AB ist der Punkt C

\angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB} = 90° m ist die Mittelsenkrechte; D ein exemplarisch verwendeter Punkt auf m

Behauptung:

m = \left\{ {\forall P:\left| PA \right| = \left| PB \right| } \right\} Alle Punke mit der Eigenschaft, dass der Abstand zu A und B gleich ist, bilden die Mittelsenkrechte

Beweis:

\left| AC \right| = \left| BC \right| \wedge \left| CD \right| = \left| CD \right| \wedge \angle m, \overline{CA} = \angle m, \overline{CB}\Rightarrow \left| AD \right| = \left| BD \right| SsW Die dreiecke sind konguent, somit muss auch der Abstand identisch sein. Somit liegt D auf m

Annahme:

\exists P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right|

Beweis Teil 2:

P\not\in m \wedge \left| AP \right|= \left| BP \right| \Rightarrow \overline{PM} \neq m Es muss dan also eine Gerade geben welche die Punke P und M schneidet jedoch nicht die Mittelsenkrechte ist, sonst wäre ja P Element m

\angle \overline{PM},\overline{AC} \neq \angle \overline{PM},\overline{BC} Da es dich nicht um die Mittelsenkrechte handelt, müssen die Winkel auch unterschiedlich sein.

Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\lightning“): \overline{MP} =\overline{MP} \wedge \left| AP \right|= \left| PB \right| \wedge \overline{AC} = \overline{BC} \Rightarrow \angle \overline{PM},\overline{AC} = \angle \overline{PM},\overline{BC}\lightning 

SSS - Wenn die drei Seiten des Dreiecks konguent sind müssen die Winkel es auch sein. Also muss P Element m sein. --RicRic
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