Lösung von Aufgabe 4.5 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

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Bei der Annahme eventuell noch ergänzen, dass es sich beim dem Punkt P um den Schnittpunkt der beiden Geraden a und c handelt, von welchen wir ja annehmen, dass die nicht parallel sind und somit diesen Schnittpunkt haben müssen.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 18:13, 5. Nov. 2011 (CET)
 
Bei der Annahme eventuell noch ergänzen, dass es sich beim dem Punkt P um den Schnittpunkt der beiden Geraden a und c handelt, von welchen wir ja annehmen, dass die nicht parallel sind und somit diesen Schnittpunkt haben müssen.--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 18:13, 5. Nov. 2011 (CET)
 
<br />@RicRic Meine Vorrausetzung ist doch, dass die Geraden a, b, c paarweise verschieden sind. Wenn ich in meiner Annahme davon ausgehe, dass P sowohl Element der Geraden a als auch der Geraden c ist, dann ist doch die einzige Möglichkeit, dass der Punkt P ein Schnittpunkt der Geraden a und c ist, oder? Muss ich es dann noch zusätzlich ergänzen? --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 18:23, 6. Nov. 2011 (CET)
 
<br />@RicRic Meine Vorrausetzung ist doch, dass die Geraden a, b, c paarweise verschieden sind. Wenn ich in meiner Annahme davon ausgehe, dass P sowohl Element der Geraden a als auch der Geraden c ist, dann ist doch die einzige Möglichkeit, dass der Punkt P ein Schnittpunkt der Geraden a und c ist, oder? Muss ich es dann noch zusätzlich ergänzen? --[[Benutzer:Todah raba|Todah raba]] 18:23, 6. Nov. 2011 (CET)
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Würde es so auch gehen?
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Vor:<math>a\neq b ; b \neq c; c\neq  a</math>
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    <math>\ a \|| b \c</math> und <math>\ b \|| c \c</math>
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Beh: <math>\ a \|| c \c</math>
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1. <math>a\neq b ; b \neq c; c\neq  a</math>                                        Vor<br />
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2. <math>\ a \|| b \c</math> und <math>\ b \|| c \c</math>                          Vor<br />
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3. <math>exists P: P \in a und P \not\in  c</math>                                  Vor( paarweise verschieden)<br />
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4. <math>\ a \|| c \c</math>                                                        1,2,3, Parallelenaxiom<br />
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was zu besweisen war. --[[Benutzer:Cmhock|Cmhock]] 20:24, 7. Nov. 2011 (CET)

Version vom 7. November 2011, 20:24 Uhr

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: \ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c .
b) Welche Eigenschaft der Relation \|| auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a) Vor.: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden    Annahme: \exists P: P \in a , P \in c
1 Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ a \|| b \c Vor.
2 Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ b \|| c \c Vor.
3 P \in a Beh.
4 P \in c Beh.
5 a = c 3,4 ; Widerspruch zur Vorraussetzung

--Todah raba 20:07, 4. Nov. 2011 (CET) 

b) Transitivität --Todah raba 20:07, 4. Nov. 2011 (CET)

Gebe dir in allem recht, würde nur sagen, dass es Aufgrund der Augabenstellung Sinn macht bei dem Beweis den Schritt 5 eher so zu formulieren:

5 P\in a \wedge P\in c 3,4 ; Widerspruch zum Parallelaxionom, Durch jeden Punkt kann nur eine Gerade gehen welche Parallel zu b ist.

Bei der Annahme eventuell noch ergänzen, dass es sich beim dem Punkt P um den Schnittpunkt der beiden Geraden a und c handelt, von welchen wir ja annehmen, dass die nicht parallel sind und somit diesen Schnittpunkt haben müssen.--RicRic 18:13, 5. Nov. 2011 (CET)
@RicRic Meine Vorrausetzung ist doch, dass die Geraden a, b, c paarweise verschieden sind. Wenn ich in meiner Annahme davon ausgehe, dass P sowohl Element der Geraden a als auch der Geraden c ist, dann ist doch die einzige Möglichkeit, dass der Punkt P ein Schnittpunkt der Geraden a und c ist, oder? Muss ich es dann noch zusätzlich ergänzen? --Todah raba 18:23, 6. Nov. 2011 (CET)


Würde es so auch gehen?

Vor:a\neq b ; b \neq c; c\neq a 

    Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ a \|| b \c
und Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ b \|| c \c

Beh: Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ a \|| c \c


1. a\neq b ; b \neq c; c\neq a Vor
2. Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ a \|| b \c 

und Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ b \|| c \c
                         Vor

3. exists P: P \in a und P \not\in c Vor( paarweise verschieden)
4. Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\c“): \ a \|| c \c 

                                                        1,2,3, Parallelenaxiom

was zu besweisen war. --Cmhock 20:24, 7. Nov. 2011 (CET)

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