Größenbereiche: Unterschied zwischen den Versionen
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Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken. | Es seien <math>a</math> und <math>b</math> zwei Strecken. <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> seien die Äquivalenzklassen von <math>a</math> bzw. <math>b</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'' auf der Menge aller Strecken. | ||
Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört. | Wir addieren <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> indem wir einen Repräsentanten <math>\overline{AB} \in \overline{a}</math> und einen Repräsentanten <math>\overline{BC} \in \overline{b}</math> derart auswählen, dass <math>\operatorname{Zwischen}(A,B,C)</math> gilt. Die Summe der Längen <math>\overline{a}</math> und <math>\overline{b}</math> ist dann die Äquivalenzklasse <math>\overline{c}</math> bezüglich der Relation ''gleichlang'', zu der die Strecke <math>c=\overline{AC}</math> gehört. | ||
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<br />Allgemeine Defition für Addition von Größen: | <br />Allgemeine Defition für Addition von Größen: |
Version vom 17. November 2011, 17:36 Uhr
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Beispiele
Masse
Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die träge Masse.
Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man schwere Masse.
Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.
Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:
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Letztlich definieren wir auf der Menge aller Körper eine Relation gleich schwer:
und
halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.
Gewicht
Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt. Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.
Längen
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--Löwenzahn 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)
Flächeninhalte
Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde.
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--Löwenzahn 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)
Volumina
Geld/Preise
Größen als Äquivalenzklassen
Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:
Z.B.ist die Relation gleichschwer auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:
- Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
- Wenn
gleichschwer
dann ist auch
gleichschwer
- Wenn
gleichschwer
und
gleichschwer
dann
gleichschwer
Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.
Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:
- Repräsentantenebene
- KLassenebene
- Maßzahl ggf. mit Maßeinheit
Vergleichen von Größen
Größen lassen sich vergleichen:
Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.
Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind
- irreflexiv
- asymmetrisch
- transitiv
Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich
- reflexiv (
, wobei A eine beliebige Menge sei),
- antisymmetrisch (
)und
- transitiv (
)
oder gehe ich fehl? --Flo60 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)
Verschiedene Autoren definieren die Begriffe Halbordnung, Ordnung etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --*m.g.* 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)
Addition von Größen
Beispiel Addition zweier Längen:
Es seien und
zwei Strecken.
und
seien die Äquivalenzklassen von
bzw.
bezüglich der Relation gleichlang auf der Menge aller Strecken.
Wir addieren
und
indem wir einen Repräsentanten
und einen Repräsentanten
derart auswählen, dass
gilt. Die Summe der Längen
und
ist dann die Äquivalenzklasse
bezüglich der Relation gleichlang, zu der die Strecke
gehört.
Allgemeine Defition für Addition von Größen:
Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
z.B.:
Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--Löwenzahn 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)
Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen
Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.
Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte
Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird):
Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet.
--Flo60 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)
Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche
Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:
- Es sei
eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung
und eine Ordnungsrelation
definiert sind. Die Struktur
wird Größenbereich genannt, wenn für alle
gilt:
- Es sei
-
ist assoziativ auf
:
-
ist kommutativ auf
:
- Für die Relation
gilt die Trichotomie: Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle:
- Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung
und der Ordnungsrelation
gilt das Lösbarkeitsgesetz: