Größenbereiche

Beispiele

Masse

Wir betrachten physikalische Körper. Jeder Körper hat die Eigenschaft einer Krafteinwirkung Widerstand entgegenzusetzen. Man nennt diese Eigenschaft die träge Masse.

Alle Körper ziehen sich aufgrund ihrer Masse an. Diese Eigenschaft der Körper einander anzuziehen nennt man schwere Masse.

Schwere und träge Masse sind auf das engste miteinander verbunden. Besonders schwere Körper (Körper die andere besonders stark anziehen) sind auch besonders träge.

Die Masse eines Körpers wird dadurch bestimmt, dass man den Körper mit anderen Körpern vergleicht:

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Letztlich definieren wir auf der Menge $\mathbb{K}$aller Körper eine Relation gleich schwer: $\forall K_i, K_j \in \mathbb{K}: K_i gleich schwer K_j := K_i$ und $K_j$halten sich auf der Waage das Gleichgewicht.

Gewicht

Auf jeden Körper wirkt die Anziehungskraft der Erde. Dies Kraft wird auch Gewichtskraft bzw Gewicht des Körpers genannt. Das Gewicht wird mit einem Federkraftmesser bestimmt. Auf der Menge aller Körper definieren wir: Zwei Körper haben dasselbe Gewicht, wenn sie auf den Federkraftmesser dieselbe Wirkung haben.

Längen

Wir gehen davon aus, dass der Begriff "deckungsgleich" bereits definiert wurde:
Zwei Strecken haben die selbe Länge, wenn sie deckungsgleich sind.--Löwenzahn 16:18, 17. Nov. 2011 (CET)

Flächeninhalte

Wir gehen davon aus, dass der Begriff "zerlegungsgleich" bereits definiert wurde.
Zwei Flächen haben den selben Flächeninhalt, wenn die Flächen zerlegungsgleich sind.--Löwenzahn 16:23, 17. Nov. 2011 (CET)

Volumina

Wie gehen davon aus, dass verdrängen bereits definiert wurde. Zwei Körper haben das selbe Volumen, wenn sie die gleiche Masse an Wasser verdrängen.

Frage: Ist Masse in diesem Zusammenhang korrekt?--Gänseblümchen 17:09, 24. Nov. 2011 (CET)
Ich würde in diesem Zusammenhang eher von der Menge anstatt der Masse sprechen.--Jbo-sax 09:03, 11. Dez. 2011 (CET)
Wäre Menge nicht eher eine Zusammenfassung von Elementen? --Löwenzahn 14:00, 13. Dez. 2011 (CET)

Geld/Preise

Wir gehen davon aus, dass Kaufkraft bereits definiert wurde. Zwei Gegenstände haben den selben Geldwert, wenn für sie die gleiche Kaufkraft geleisten werden muss.--Gänseblümchen 17:18, 24. Nov. 2011 (CET)

Größen als Äquivalenzklassen

Größen sind Äquivalenzklassen von Objekten:

Z.B.ist die Relation gleichschwer auf der Menge aller Körper eine Äquivalenzrelation:

1. Jeder Körper ist zu sich selbst gleichschwer
2. Wenn $K_1$ gleichschwer $K_2$ dann ist auch $K_2$ gleichschwer $K_1$
3. Wenn $K_1$ gleichschwer $K_2$ und $K_2$ gleichschwer $K_3$ dann $K_1$ gleichschwer $K_3$

Die Größe Masse ist eine Äquivalenzklasse nach der Äquivalenzrelation gleichschwer.

Hinsichtlich der Größen lassen sich drei Begriffsebenen unterscheiden:

1. Repräsentantenebene
2. KLassenebene
3. Maßzahl ggf. mit Maßeinheit

Vergleichen von Größen

Größen lassen sich vergleichen:

Die Repräsentanten der Klasse 1 sind jeweils kleiner als die Repräsentanten der Klasse 2.

Auf der Menge der Äquivalenzklassen wurde eine Ordnungsrelation definiert. Ordnungsrelationen sind

1. irreflexiv
2. asymmetrisch
3. transitiv

Sind Ordnungsrelationen nicht eigentlich

1. reflexiv ($\forall a \in A: aRa$, wobei A eine beliebige Menge sei),
2. antisymmetrisch ($\forall a,b \in A: aRb \wedge bRa \Rightarrow a = b$)und
3. transitiv ($\forall a,b,c \in A: aRb \wedge bRc \Rightarrow aRc$)

oder gehe ich fehl? --Flo60 12:41, 13. Nov. 2011 (CET)

Verschiedene Autoren definieren die Begriffe Halbordnung, Ordnung etc. unterschiedlich. Für unsere hier anzustellenden didaktischen Überlegungen sind diese Definitionen nicht so wirklich relevant. Da die Wikipedia Ordnungsrelationen als Verallgemeinerungen der kleiner-gleich Beziehung definiert schließen wir uns dieser Idee hier an und fordern die Antisymmetrie. --*m.g.* 13:24, 17. Nov. 2011 (CET)

Frage: Ist nur die Relation "kleiner-gleich" eine Ordnungsrelation? Oder können andere Relationen auch Ordnungsrelationen sein?--Gänseblümchen 17:19, 24. Nov. 2011 (CET)

Addition von Größen

Beispiel Addition zweier Längen:

Es seien $a$ und $b$ zwei Strecken. $\overline{a}$ und $\overline{b}$ seien die Äquivalenzklassen von $a$ bzw. $b$ bezüglich der Relation gleichlang auf der Menge aller Strecken. Wir addieren $\overline{a}$ und $\overline{b}$ indem wir einen Repräsentanten $\overline{AB} \in \overline{a}$ und einen Repräsentanten $\overline{BC} \in \overline{b}$ derart auswählen, dass $\operatorname{Zwischen}(A,B,C)$ gilt. Die Summe der Längen $\overline{a}$ und $\overline{b}$ ist dann die Äquivalenzklasse $\overline{c}$ bezüglich der Relation gleichlang, zu der die Strecke $c=\overline{AC}$ gehört.

Allgemeine Defition für Addition von Größen:
Zwei Größen werden addiert, in dem man zwei Repräsentanten für die Größen vereinigt.
z.B.:
Zwei Größe des Geldwertes werden addiert, in dem man die Menge von Münzen und Scheinen zusammenlegt.
Wäre das auch möglich, oder ist das zu allgemein?--Löwenzahn 16:35, 17. Nov. 2011 (CET)

Kommensurabilität und Inkommensurabilität von Größen und Mengen

Wenn eine Menge oder eine Größe messbar ist, indem man Einheitsgrößen zusammenfasst, dann ist diese Menge bzw. Größe kommensurabel. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist sie inkommensurabel.

Beispiel für eine kommensurable Größe: Geldwerte Wir nehmen an, wir haben einen Geldwert i. H. v. 7,59 €. Mittels unserer Münzen und Scheine kann ich diesen Wert legen. Das tolle ist - und jetzt kommt endlich mal eine gute Nachricht zum Thema Euro (es gab ja fast nur schlechte in letzter Zeit) - es spielt überhaupt keine Rolle, ob es sich um griechische, deutsche, italienische, spanische, französische oder sonstirgendwelche Euros handelt; es funktioniert :-)
Für alle Euroskeptiker unter euch/ihnen, hier ein Photo, um zu zeigen, dass obige Aussage korrekt ist (vielleicht trägt es ja auch dazu bei, dass die Stimmung an den Geldmärkten wieder besser wird):


Inkommensurable Mengen sind demgegenüber Größen und Mengen, welche sich eben nicht durch Einheitsgrößen zusammenfassen lassen. Ein Beispiel hierfür ist die Länge der Diagonale des Einheitsquadrats $\sqrt{2}$ - man kann noch so keine 'Stückchen' aneinanderlegen - die genaue Länge kriegt man nie hin. Ein weiteres Beispiel sind Benzinpreise, welche durch Beträge wie 1,599 (z. B. ein Liter Super) nicht mit unseren Münzen und Scheinen exakt bezahlt werden können. Hier wird gerundet.
--Flo60 22:28, 13. Nov. 2011 (CET)

Die mathematische Abstraktion: Größenbereiche

Die Mathematiker abstrahieren den physikalischen Größenbegriff und definieren:

Es sei $\mathbb{G}$ eine nichtleere Menge, auf der eine innere Verknüpfung $\oplus$ und eine Ordnungsrelation $<$ definiert sind. Die Struktur $(\mathbb{G}, \oplus, <)$ wird Größenbereich genannt, wenn für alle $a, b, c \in \mathbb{G}$ gilt:

1. $\oplus$ ist assoziativ auf $\mathbb{G}$: $a \oplus (b \oplus c) = (a \oplus b) \oplus c$
2. $\oplus$ ist kommutativ auf $\mathbb{G}$: $a \oplus b = b \oplus a$
3. Für die Relation $<$ gilt die Trichotomie: Es gilt genau einer der folgenden drei Fälle: $a<b, b<a, a=b$
4. Für das Zusammenspiel von innerer Verknüpfung $\oplus$ und der Ordnungsrelation $<$ gilt das Lösbarkeitsgesetz: $a<b \Leftrightarrow \exists z \in \mathbb{G}: a \oplus z = b$

Frage:
Warum handelt es sich (rein mathematisch betrachtet) bei der Temperatur nicht um einen Größenbereich?--Löwenzahn 17:20, 4. Dez. 2011 (CET)
Meiner Meinung nach handelt es sich bei der Temperatur um einen Größenbereich, da alle Punkte der Definition erfüllt werden...
Wo siehst du das Problem, Löwenzahn?--Jbo-sax 09:09, 11. Dez. 2011 (CET)
Wenn man davon ausgeht, dass die Temperatur in Kelvin gemessen wird, und es dabei einen absoluten Nullpunkt gibt, dann treten keine negativen Werte auf. Bei der Temperaturmessung in Grad Celsius aber schon. Ich habe gelesen, dass die Temperatur keinen Größenbereich darstellt. Ich meine, damit hat es was zu tun, allerdings fehlt mir grad die exakte Begründung!?!?! Kannst du, Jbo-sax, erklären, weshalb es deiner Meinung nach um einen Größenbereich handelt? Danke - --Löwenzahn 13:46, 13. Dez. 2011 (CET)

Ich behaupte, dass es sich bei Kalvin im Gegensatz zu Celsius um eine Größe handelt. Begründung: Kalvin erfüllt tatsächlich alle Punkte der Definition, weil nur positive Zahlen. Celsius allerdings erfüllt nicht den Punkt der Kommutativität, da Zahlen negativ sein können a-b ist ungleich b-a! --Gänseblümchen 15:17, 15. Dez. 2011 (CET)

Hallo Löwenzahn, Gänseblümchen hat bereits meine Begründung geliefert, da nur bei Celsius die Kommutativität und die Assoziativität nicht erfüllt sind, da es auch negative Temperaturen gibt, bei Kelvin hingegen sind meiner Meinung nach alle Punkte erfüllt.
Ich habe eben noch gelesen, dass Streckenlängen auch nicht die Kommensurabilität erfüllen. Wenn man definiert, dass alle Strecken nach rechts positiv sind und alle Strecken nach links negative Vorzeichen erhalten, bin ich damit einverstanden, da wieder Assoziativität und Kommutativität nicht erfüllt sind. Plädiert man hingegen dafür, dass nur die Beträge der Längen beachtet werden und nicht deren Richtung, so ist die Kommensurabilität meiner Auffassung nach erfüllt, da es dann einen Nullpunkt und demnach nur positive Werte gibt, sodass Assoziativität und Kommutativität erfüllt sind.
Korrigiert mich bitte, falls ich falsch liegen sollte...--Jbo-sax 19:41, 17. Dez. 2011 (CET)

Antwort:
Sowohl die Temperatur in Celsius als auch Längen mit oder ohne Richtung sind Größenbereiche. Bei der Temperatur in Celsius ist die Operation $\oplus$ auf $\mathbb{G}=\{t \in \mathbb{R} | t \geq -273,15\}$ definiert durch $t_1 \oplus t_2 = t_1 + t_2 + 273,15$, wobei $+$ die gewöhnliche Addition auf den reellen Zahlen ist.

Dann ist für alle $t_1, t_2\in\mathbb{G}$ auch $t_1 \oplus t_2\in\mathbb{G}$ und die Operation ist offensichtlich assoziativ und kommutativ. Als Ordnung $<$ wird die natürliche Ordnung auf den reellen Zahlen genutzt. Damit ist die "Trichotomie" offensichtlich und es bleibt nur noch das "Lösbarkeitsgesetz" zu zeigen.

Seien also $a,b\in\mathbb{G}$ mit $a < b$. Damit ist $z = b - a - 273,15 > -273,15$ und somit aus $\mathbb{G}$. Ausrechnen liefert $a \oplus z = a + b - a - 273,15 + 273,15 = b$.

Bei Temperatur in Kelven, Strecken mit oder ohne Richtung kann als Operation die gewöhnlich Addition gewählt werden und als Ordnung die gewöhnliche Ordnung auf den reellen Zahlen. Für Strecken im mehrdimensionalen Raum (z.B. in der Ebene) gibt es keine einfache Ordnung, welche die "Trichotomie" erfüllt. Evtl. gibt es auch keine, welche gleichzeitig das "Lösbarkeitsgesetz" erfüllt, darüber müsste ich aber erst nachdenken. --Wienand 16:54, 30. Jan. 2013 (CET)