Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br />
 
Gegeben seien drei paarweise verschiedene und '''kollineare''' Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' in einer Ebene ''E''. Ferner sei eine Gerade ''g'' Teilmenge der Ebene ''E'', wobei keiner der Punkte ''A'', ''B'' und ''C'' auf ''g'' liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:<br /><br />
 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />  
 
<math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />  
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Vor.: <math>\operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E</math><br />
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Beh.: <math>\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace  </math> <br />
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Beweis:<br />
  
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!Schritt!!Begründung
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| (2)<math>\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B)</math>  || Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
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| (3)Fall 1: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AB}=\phi</math><br /><math>\overline{AB} c\overline{AC}</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\}</math> Behaupt stimmt || verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
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| Fall 2: <math>\operatorname(Zw) (B, C, A)</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}</math> <br /> Wiederspruch zur Behauptung
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| Fall 3: <math>\operatorname(Zw) (A, B, C)</math> <br /><math>\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi</math> oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
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| (4)<math>\exists P : P \operatorname{nkoll}(A, B, C)</math> || A I/3
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| (8) Fall 1: <math>P\in g</math>betrachte ich nachher<br /><math>P\notin g</math> ||
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| (9) <math>\ g \cap \overline{AB}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H}\right\} oder:\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(5)
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| (11) <math>\ g \cap \overline{AC}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entwerder: \ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} oder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H} \right\}</math> || Axiom von Pasch ,(7)
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| (12) <math>\left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right|</math> || (3)
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| Fall 2 von (7) analog nur mit <math>\overline{AP} \in g</math>
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|}Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--[[Benutzer:RicRic|RicRic]] 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)
  
 
[[Category:Einführung_Geometrie]]
 
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Version vom 8. Dezember 2011, 23:15 Uhr

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace


Vor.: \operatorname{koll}(A, B, C) \wedge A\neq B\neq C\neq D \wedge A,B,C\in E
Beh.: \overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace
Beweis:

Schritt Begründung
(1)\operatorname{koll}(A, B, C) Vorr
(2)\operatorname(Zw) (A, B, C) entweder oder \operatorname(Zw) (B, C, A) entweder oder \operatorname(Zw) (C, A, B) Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: \operatorname(Zw) (A, B, C)
\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AB}=\phi
\overline{AB} c\overline{AC}
\ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\} Behaupt stimmt 		verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: \operatorname(Zw) (B, C, A)
\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} oder g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\}
Wiederspruch zur Behauptung
Fall 3: \operatorname(Zw) (A, B, C)
\ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: g \cap \overline{BC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{AC}=\phi oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
(4)\exists P : P \operatorname{nkoll}(A, B, C) A I/3
(5) \overline{ABP} AI/1
(6) \overline{BCP} AI/1
(7) \overline{ACP} AI/1
(8) Fall 1: P\in gbetrachte ich nachher
P\notin g
(9) \ g \cap \overline{AB}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entweder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H}\right\} oder:\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {H} \right\} Axiom von Pasch ,(5)
(10) \ g \cap \overline{BC} =\phi \Rightarrow entweder:g \cap \overline{BP} =\phi \wedge g \cap \overline{CP} =\phi oder: <math>\ g \cap \overline{BP}= \left\{ {S} \right\} \wedge <math>\ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} Axiom von Pasch ,(6)
(11) \ g \cap \overline{AC}= \left\{ {S} \right\} \Rightarrow entwerder: \ g \cap \overline{CP}= \left\{ {H} \right\} oder: \ g \cap \overline{AP}= \left\{ {H} \right\} Axiom von Pasch ,(7)
(12) \left| AB \right| +\left| BC \right| =\left| AC \right| (3)
(13) \overline{AB} c\overline{AC} (12)
(14) \ g \cap \overline{AB} =\left\{ {S} \right\} \Rightarrow \ g \cap \overline{AC} =\left\{ {S} \right\} (9),10),(11),(13)
Fall 2 von (7) analog nur mit \overline{AP} \in g
Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--RicRic 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)
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