Lösung von Aufgabe 1.2 (SoSe 12)

Definieren Sie die folgenden Begriffe mathematisch korrekt. Die Begriffe n-Eck, Seite und Ecke eines n-Ecks seien bereits definiert. Beziehen Sie sich auf den nächsthöheren Oberbegriff.

Viereck, Trapez, gleichschenkliges Trapez, Parallelogramm, Drachen, Raute, Rechteck, Quadrat

vielleicht hilft uns hier die Didaktik der Geometrie.... vgl. http://wikis.zum.de/geowiki/Haus_der_Vierecke_%2815.07.2011%29
--Braindead 15:57, 23. Apr. 2012 (CEST)

Viereck:

Ein Vieleck mit genau vier Ecken ist ein Viereck.--Oz44oz 23:30, 19. Apr. 2012 (CEST)
FRAGE: Ist Vieleck ein Überbegriff???

Ein Viereck ist ein n-Eck mit n=4. --PippiLotta 14:41, 20. Apr. 2012 (CEST)

Vieleck und n-Eck sind synonym zu verstehen. Ja, Vieleck/n-Eck ist ein Oberbegriff bzgl. des Begriffs Viereck.--*m.g.* 10:51, 21. Apr. 2012 (CEST)

Quadrat:

Ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten ist ein Quadrat.--Oz44oz 23:36, 19. Apr. 2012 (CEST)

Ein Quadrat ist eine Raute mit einem rechten Innenwinkel.

Raute:

Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute.
Ein Drache mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute.
Ein Parallelogramm mit vier kongruenten Seiten ist eine Raute.--Braindead 14:42, 21. Apr. 2012 (CEST)
Lässt sich eine Raute über die beiden genannten Oberbegriffe auch mit weniger als 4 kongruenten Seiten exakt definieren?--Tutorin Anne 11:34, 24. Apr. 2012 (CEST)

Wenn du schon so fragst vermute ich es reicht auch "mit drei konkruenten Seiten" da sich die dritte ergibt.--Braindead 11:41, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ein Viereck dessen gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind nennt man Raute.--Michael 20:22, 21. Apr. 2012 (CEST)
Ein Parallelogramm? --PippiLotta 13:53, 22. Apr. 2012 (CEST) Richtig, das ist die Definition für ein Parallelogramm. Super, PippiLotta. --Tutorin Anne 11:34, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ein Viereck dessen gegenüberliegende Winkel gleich groß und dessen Seiten kongruent sind nennt man Raute. --Huberj01 10:02, 24. Apr. 2012 (CEST)
Diese Definition ist informell, d.h. sie enthält mehr Informationen als nötig. Für die Schule sind solche Definitionen sehr sinnvoll. Mathematisch (formale Definition) sollte nur die nötigsten Eigenschaften genannt werden, damit der Begriff eindeutig definiert ist.--Tutorin Anne 11:34, 24. Apr. 2012 (CEST)

Rechteck:

Ein Viereck mit vier rechten Innenwinkeln ist ein Rechteck.
Ein Parallelogramm mit einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck.

FRAGE: Kann ich auch folgende Definition geben: Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkel. Eine Definition der beiden Definitionen oben besagt, "einem rechten Winkel", aber daraus ergibt sich ja, dass es vier rechte Winkel sein müssen. Ist es nun richtig, wenn man in der Definition schreibt "einen rechten Winkel" oder "vier rechte Winkel"? Welche der beiden Versionen ist korrekt?

Bitte immer eure Signatur einfügen, damit alle sehen können, ob die Aussage von einer oder mehreren Personen geschrieben wurde.
Zu deiner Frage: Informelle Defnitionen dürfen auch mehr Informationen enthalten (sinnvoll v.a. im Unterricht). Formale Definitionen, wie sie hier geübt werden sollen, enthalten nur so viel wie nötig d.h. Parallelogramme mit einem rechten Winkel heißen Rechtecke.--Tutorin Anne 11:39, 24. Apr. 2012 (CEST)

über gleichschenkliges Trapez

Ein gleichschenkliges Trapez mit einem rechten Innenwinkel ist ein Rechteck.--Braindead 14:50, 21. Apr. 2012 (CEST)

Trapez:

Ein Viereck mit einem Paar paralleler Gegenseiten ist ein Trapez.--Braindead 14:52, 21. Apr. 2012 (CEST)

Ein Viereck wo immer genau zwei Seiten parallel sind --H2O 18:01, 22. Apr. 2012 (CEST)
@H2O Bei einem Parallelogramm sind je zwei Seiten parallel zueinander... nach deiner Definition ist ein Parallelogramm kein Trapez, da nicht genau zwei Seiten parallel sind.--Tutor Andreas 18:22, 22. Apr. 2012 (CEST)

Parallelogramm:

Ein Parallelogramm ist ein Trapez, bei dem die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. --Honeydukes 01:13, 21. Apr. 2012 (CEST)

Anmerkung: Oberbegiff ist Trapez. Unterbegriffe wären u.a. Raute und Rechteck. Frage: Auf die nicht vorhandenen rechten Winkel muss ich bei der Definition nicht eingegen, da der Oberbegriff Trapez diese auch nicht hat. Ist das korrekt? --Honeydukes 01:13, 21. Apr. 2012 (CEST)
Ein Parallelogramm muss ja keinen rechten Winkel haben und Dinge, die nicht relevant sind, sollten in einer Definition auch nicht vorkommen. Ich hoffe, dass ich deine Frage richtig verstanden habe, wenn nicht, dann einfach nochmal anders formulieren.--Tutor Andreas 18:34, 22. Apr. 2012 (CEST)

Danke. --Honeydukes 22:09, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ein Parallelogramm ist ein Trapez, bei dem die gegenüberliegenden Innenwinkel gleich groß sind. --Huberj01 09:55, 24. Apr. 2012 (CEST)

Drachenviereck:

Variante 1

Wenn ein konvexes Viereck zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt, dann nennt man es Drachenviereck. (Konventionaldefinition) --Honeydukes 00:53, 21. Apr. 2012 (CEST)
Könnte bei dieser Definition nicht auch dieses Viereck entstehen:

--Tutorin Anne 11:47, 24. Apr. 2012 (CEST)

Variante 2

Ein Drachenviereck ist ein konvexes Viereck, bei dem eine Diagonale auf der Mittelsenkrechten der anderen Diagonalen liegt.

Kommentar von Tutor Andreas

Wenn die Diagonalen eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet so spricht man von einem Drachen. --Michael 20:22, 21. Apr. 2012 (CEST)
Diese Definition muss auch noch ein bischen verändert werden... hier einige Vorschläge...
(1) Wenn die Diagonalen eines Viereckes Symmetrieachsen bilden, so spricht man von einem Drachen.
(2) Wenn eine Diagonale eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet, so spricht man von einem Drachen.
(3) Wenn die Diagonale eines Viereckes eine Symmetrieachse bildet, so spricht man von einem Drachen.
Vielleicht könnte man an dieser Stelle darüber diskutieren, welche Variante korrekt ist. --Tutor Andreas 18:27, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ich würde sagen, dass (2) korrekt ist. Ein Drachendreieck hat zwei Diagonalen, aber nur eine Diagonale bildet die Symmetrieachse. --Honeydukes 22:09, 22. Apr. 2012 (CEST)

Kommentar von m.g.

Bemerkungen zum Begriff Symmetrieachse

Definition

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(Symmetrieachse)
Es sei $\mathbb{F}$ eine beliebige Figur und $s$ eine Gerade. Wenn bei der Spiegelung an $s$ $\mathbb{F}$ auf sich selbst abgebildet wird, ist $s$ eine Symmetrieachse von $\mathbb{F}$

Eine Gerade ist nicht einfach so eine Symmetrieachse, sondern immer eine Symmetrieachse von irgendeinem anderen geometrischen Objekt. A priori ist jede Gerade eine Symmetrieachse: Es sei $g$ eine Gerade in einer Ebene $\varepsilon$. Ferner sei $P$ ein Punkt von $g$. In $\varepsilon$ existiert jetzt $s_{Pg}$, die Senkrechte in $P$ auf $g$. Weil bei der Spiegelung an $g$ die Gerade $s_{Pg}$ auf sich selbst abgebildet wird, ist $g$ eine Symmetrieachse von $s_{Pg}$.

Aus dieser Sicht wäre alle Definitionen des Begriffs Drachen, die die Idee der Symmetrieachse verwenden noch einmal zu überdenken. --*m.g.* 18:08, 23. Apr. 2012 (CEST)

Ein Viereck bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist, ist ein Drachen.--Oz44oz 19:44, 23. Apr. 2012 (CEST)

gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez, welches zwei gleichlange Schenkel besitzt, heißt gleichschenkliges Trapez. --Honeydukes 22:22, 22. Apr. 2012 (CEST)

Dann müssen Sie aber auch den Begriff Schenkel eines Trapez definieren. Und könnte zwei Seiten eines Vierecks eigentlich Schenkel sein, wenn sie nicht gleichlang wären?--*m.g.* 17:46, 23. Apr. 2012 (CEST)

Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, welches eine Symmetrieachse besitzt, die verschieden ist von den Diagonalen des Trapezes.
Ein Trapez mit einem Umkreis ist ein gleichschenkliges Trapez.
Ein Trapez mit zwei kongruenten gegenüberliegenden Seiten ist dann ein gleichschenkliges Trapez, wenn diese Seiten entweder nicht parallel sind oder das Trapez ein Rechteck ist.
Ein Trapez, in dem nicht gegenüberliegende Innenwinkel zu einander kongruent sind, heißt gleichschenkliges Trapez.--Braindead 20:33, 23. Apr. 2012 (CEST)
Ein Trapez dessen nicht parallele Seiten gleich lang sind, heißt gleichschenkliges Trapez. --Huberj01 09:50, 24. Apr. 2012 (CEST)