Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

Aufgabe 3.5

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \|| b \wedge b \|| c \Rightarrow \ a \|| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\||$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Lösungsvorschlag 1

a)
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden

Behauptung: $\ a \|| c$

Annahme: $\exists P:P\in a \wedge P\in c$

Beweis:
(1) $\ a \|| b$ Voraussetzung
(2) $\ b \|| c$ Voraussetzung
(3) $\ P\in a$ Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a)
(4) $\ P\in c$ Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c)
(5) $\ P\in a \wedge P\in c$ (3),(4) da Punkt P sowohl auf a, als auch auf c liegt ist das ein Widerspruch zur Voraussetzung. --Goliath 17:03, 3. Mai 2012 (CEST)

• Der Beweis ist meiner Meinung nach noch nicht richtig, denn du hast keinen Widerspruch zur VSS (a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden). Vielleicht hast du auch die richtige Idee und es ist nur beim Niederschreiben verloren gegangen... --Tutor Andreas 18:25, 3. Mai 2012 (CEST)

Meine Idee war: Laut dem Parallelenaxiom gibt es doch höchstens eine Gerade, die durch den Punkt A läuft und zu g parallel ist. Ich dachte nun, dass doch in (5) gezeigt wäre, dass sowohl a als auch c durch P gehen und sie deshalb laut (5) nicht parallel sein können. Die Voraussetzung besagt doch, dass $\ a \|| b \wedge b \|| c$und dann doch auch

und da dachte ich, dass in (5) gezeigt wäre, dass a und c in dem Fall nicht parallel sein können. Und das wäre dann mein Widerspruh zur Voraussetzung. Bin ich da komplett auf dem falschen Dampfer, oder hab ich es einfach falsch aufgeschrieben?????--Goliath 18:35, 3. Mai 2012 (CEST)

• Wie du schon sagst, gibt es laut dem Parallelenaxiom höchstens eine Gerade, die durch A geht und parallel zu g (ich denke du meinst b) verläuft, aber das heißt nciht, dass a und c nicht parallel sein können. Und da ist noch etwas. Du hast im letzten Beitrag geschrieben, dass "$\ a \|| b \wedge b \|| c$und dann doch auch

", aber

ist deine Behauptung und nicht die VSS. --Tutor Andreas 18:53, 3. Mai 2012 (CEST)

b) Hiermit wurde die Transitivität gezeigt.--Goliath 17:17, 3. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 2

a) Wenn a parallel zu b ist und b parallel zu c, dann ist auch a parallel zu c.

Voraussetzung:

Behauptung: $\ a \|| c$

Beweis durch Widerspruch, daher ist es ein indirekter Beweis: es ist zu zeigen, dass die Negation der Behauptung nicht gilt. Dabei wird angenommen, dass die Behauptung nicht gilt. Dadurch wird der Widerspruch erzeugt!

Annahme: $\neg\ a \|| c$ (a ist nicht parallel zu c. Wie kann ich das "nicht parallel" besser darstellen?)

• $\not \parallel$ so in etwa :) --Tutor Andreas 10:57, 6. Mai 2012 (CEST)

1) a und c sind nicht parallel und haben somit einen Schnittpunkt. (vgl. Annahme)
2) Der Schnittpunkt liegt nicht auf der Geraden b. (vgl. 1. und die Voraussetzung)
3) Der Schnittpunkt liegt also auf der Geraden a und a ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung)
4) Der Schnittpunkt liegt auch auf der Geraden c und c ist parallel zu b. (vgl. 2. und die Voraussetzung)

Ist der Widerspruch dadurch gezeigt?--Braindead 19:46, 3. Mai 2012 (CEST)

• Du solltest noch schreiben, was nun genau der Widerspruch ist.--Tutor Andreas 10:57, 6. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag 3

Vor.:

Beh.: $a || c$

Ann.: $a||b \wedge b ||c$ und $a\not \parallel c$

Bew.: $a\not \parallel c \Rightarrow b\not \parallel c$

Somit hab ich einen Widerspruch. --Michael 14:22, 8. Mai 2012 (CEST)