Lösung von Aufgabe 4.3 S (SoSe 12)
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Aufgabe 4.3
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
,
und
drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn
,
und
… , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
Lösungsvorschlag 1 (Numero6)
Teilaufgabe 1
„Wenn,
und
nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.“
Teilaufgabe 2
Voraussetzung: nkoll (A,B,C)
Behauptung: A,B und C sind paarweise verschieden
Annahme: 2 Punkte sind nicht paarweise verschieden (Widerspruch zur Behauptung..)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | ![]() |
Voraussetzung |
(2) | oBdA: ![]() ![]() |
Annahme |
(3) | ![]() |
(2), Axiom I/1 |
(4) | ![]() |
(2), (3), Def. kollinear |
(5) | Widerspruch zur Voraussetzung | (4), (1) |
(6) | Behauptung stimmt | (5) |
Teilaufgabe 3
„Wenn,
und
nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.“
Teilaufgabe 4
Voraussetzung: mindestens 2 der 3 Punkte (A,B,C) sind identisch
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweisschritt | Begründung | |
---|---|---|
(1) | oBdA: ![]() |
Voraussetzung |
(2) | ![]() |
(1), Axiom I/1 |
(3) | ![]() |
(1), (2), Def. kollinear |
Teilaufgabe 5
„Wenn,
und
paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.“
Teilaufgabe 6
Die Umkehrung von Satz I gilt NICHT!!! (siehe Gegenbeispiel)
--Tchu Tcha Tcha 19:12, 13. Mai 2012 (CEST)
Lösungsvorschlag 2 (Nemo81)
Hier mal meine Lösung, glaube dass die nicht wirklich gut ist. Vor: A,B,C nkoll Beh: A,B,C paarweise verschieden
Ann: Fall 1 A=B=C
1) A,B,C nkoll laut Vor
2)Es gibt eine Menge von Geraden laut Axiom I/1 und 1)
AB,AC,BC
3)A=B=C laut Ann
4) Es exsistiert eine Gerade g Def I/2 Kollinear und 3)
mit A,B,C Element von g
5) Widerspruch zur Behauptung laut 1) und 2) gibt es Eine Menge von Geraden die AB,AC,BC
und laut 3) und 4) sollen die Punkte A,B,C auf einer Geraden g liegen.
--Nemo81 14:22, 19. Mai 2012 (CEST)