Streckenantragen oder das Axiom vom Lineal

Inhaltsverzeichnis

1 Der Mittelpunkt einer Strecke
2 Streckenantragen
3 Das Axiom vom Lineal
- 3.1 Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Der Mittelpunkt einer Strecke

Wir wissen nun, dass eine offene Strecke $\overline{AB}$ die Menge aller Punkte ist, die zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen. Vereinigt man diese Menge mit der Menge der beiden Endpunkte $\ A$ und $\ B$ , so hat man die gesamte Strecke $\overline{AB}$ . Zu unseren grundlegenden Vorstellungen von Strecken gehört, dass jede Strecke $\overline{AB}$ einen Mittelpunkt $\ M$ hat. $\ M$ wäre der Punkt auf $\overline{AB}$ , der sowohl zu $\ A$ als auch zu $\ B$ denselben Abstand $\frac{| \overline{AB} |}{2}$ hat.

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ ...

Was das Definieren angeht, werden wir langsam vorsichtig. Definieren dürfen wir alles was wir wollen. Wir müssen uns dann allerdings die Frage nach Sinn und Korrektheit unserer Definition gefallen lassen. Von beidem dürften wir bezüglich Definition III.1 überzeugt sein, weshalb wir den folgenden Satz formulieren:

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke

Die Materie erscheint einsichtig und einfach. Übungsaufgabe?? Nichts ist einfach. Mit den bisher bereitgestellten axiomatischen Grundlagen unserer Geometrie wird es Ihnen nicht gelingen, etwa zu zeigen, dass jede Strecke einen Mittelpunkt besitzt.

Beweis dafür, dass momentan der Beweis von Satz III.1 nicht geführt werden kann

Der Knackpunkt bezüglich des Nachweises der Existenz und Eindeutigkeit des Streckenmittelpunktes besteht darin, dass unsere derzeitige Theorie noch nicht genügend Punkte zu Verfügung stellt. Momentan muss unser Raum nicht mehr als 4 Punkte enthalten. Nach Axiom I.7 sind diese vier Punkte nicht komplanar, woraus folgt, dass je drei von ihnen nicht auf ein und derselben Geraden liegen. Damit könnte eine durch zwei verschiedene dieser vier Punkte eindeutig bestimmte Strecke gar keinen Mittelpunkt haben, denn dieser müsste entsprechend Definition III.1 bezüglich unserer zwei Endpunkte auf derselben Geraden liegen.

Es wird Zeit, die Anzahl Punkte unserer Theorie radikal zu erhöhen. Konzentrieren wir uns diesbezüglich zunächst auf einen Strahl $\ AB^{+}$ . Nch unserer Vorstellung von Halbgeraden können wir nicht je zwei Punkten von $\ AB^{+}$ genau eine nichtnegative reelle Zahl (den Abstand der beiden Punkte) zuordnen. Nach unseren Vorstellungen etwa von Zahlenstrahl gibt es auch zu jeder nicht negativen reellen Zahl d genau einen Punkt $\ D$ auf $\ AB^{+}$ , der zu $\ A$ gerade den Abstand $\ d$ hat. Bei Konstruktionsaufgaben finden wir diese Idee im Zusammenhang mit dem Streckenantragen wieder.