Lösung von Aufgabe 2.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 2.3

Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ?

Lösungsvorschläge

ZigZag

• Dass die Schnittmenge C der Mengen A und B alle Elemente der Mengen A und B beinhaltet.Benutzer:Zigzag
  

Wurzel alias H₂O

• A ist Teilmenge von B und B ist Teilmenge von A Dan ist A gleich B KeinKurpfälzer und --H2O 16:14, 30. Apr. 2012 (CEST)

TiCron

• Zwei Mengen sind identisch, wenn sie die selben Elemente enthalten. Kein Widerspruch zu H20 und KeinKurpfälzer.

Bemerkungen M.G.

Kommentar

Das ist soweit alles richtig, aber vielleicht noch nicht so wirklich hilfreich bezüglich des Führens von Beweisen.
Zunächst die Definition aus dem Skript:

Definition

---

Mengengleichheit
Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie aus denselben Elementen bestehen.

Diese Definition entspricht dem Beitrag von TiCron.

Auch in der Kurpfalz gilt jetzt das, was Team

formuliert:

Satz:

Es seien $A$ und $B$ zwei Mengen. Wenn $A \subset B \wedge B \subset A$, dann $A=B$.

ZigZag drückt das so aus:

Satz:

$A \cap B = A \wedge A \cap B = B \Rightarrow A=B$.

Beide Sätze könnten auch als Kriterium formuliert (gdw.) und somit als Definition verwendet werden.

Was muss ich aber konkret machen, wenn ich zeigen will, dass zwei Mengen $A$ und $B$ identisch sind?

$H_2O$ und

 helfen: 

$A \subset B$ bedeutet: Jedes Element von $A$ gehört auch zu $B$.

$B \subset A$ bedeutet: Jedes Element von $B$ gehört auch zu $A$.

Wir haben also zu zeigen, dass

1. $E \in A \Rightarrow E \in B$ und
2. $E \in B \Rightarrow E \in A$ gilt.

Ein Beispiel

Grundlegendes vorab

Wir gehen von folgenden Definitionen aus:

Definition

---

Drachen
Ein Viereck heißt Drachen, wenn es zwei Paare von benachbarten Seiten hat, die zueinander kongruent sind.

Definition

---

Parallelogramm
Ein Viereck heißt Parallelogramm, wenn es zwei Paare gegenüberliegender Seiten hat, die zueinander kongruent sind.

Unter $D^*$ wollen wir die Menge aller Drachen verstehen, deren Diagonalen einander halbieren. $P^*$ sei die Menge aller Parallelogramme, deren Seiten alle kongruent zueinander sind.

Wir behaupten jetzt, dass $D^*=P^*$ gilt.

Was ist zu beweisen?

1. Wenn ein Viereck $V$ ein Drachen ist, dessen Diagonalen einander halbieren, so ist $V$ auch ein Parallelogramm, dessen Seiten alle kongruent zueinander sind.
2. Wenn ein Viereck $V$ ein Parallelogramm ist, dessen Seiten alle zueinander kongruent sind, dann ist $V$ auch ein Drachen, dessen Diagonalen einander halbieren.

anders ausgedrückt:

1. $V \in D^* \Rightarrow V \in P^*$
2. $V \in P^* \Rightarrow V \in D^*$

oder zusammengefasst:

$V \in D^* \Leftrightarrow V \in P^*$

Die eigentlichen Beweise

Beweis 1

Vorbetrachtungen

Es sei $V=\overline{ABCD}$ ein Drachen, dessen Diagonalen $\overline{AC}$ und $\overline{BD}$ sich im Punkt $M$ schneiden mögen.
Voraussetzung:

(I) $\overline{AM} \tilde= \overline{MC}$ und

(II) $\overline{BM} \tilde= \overline{MD}$

Behauptung:

$\overline{AB} \tilde= \overline{BC} \tilde= \overline{CD} \tilde= \overline{DA}$

Der eigentliche Beweis

Versuchen Sie es selbst. Hinweis: zeigen Sie zunächst, dass im Drachen die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen (kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel.) Dreieckskongruenzsätze helfen.

Einschub Numero6 hatte eine Verständnisfrage, der ich hier mal eine eigen Datei spendiere:Diagonalen im Drachen

Beweis 2

Vorbetrachtungen

Es sei $V=\overline{ABCD}$ ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt $M$
schneiden. Voraussetzung:

$\overline{AB} \tilde= \overline{BC} \tilde= \overline{CD} \tilde= \overline{DA}$

Behauptung:

(I) $\overline{AM} \tilde= \overline{MC}$ und

(II) $\overline{BM} \tilde= \overline{MD}$

Der eigentliche Beweis

Versuchen Sie es selbst.