Zusatzaufgaben 8 S (SoSe 12)

Zusatzaufgabe 8.1

Unter dem Raum $\mathbb{P}$versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge $\varepsilon \subset \mathbb{P}$ sei eine Ebene. Gegeben sei ferner $\ Q$ mit $Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon$. Definieren Sie die Begriffe Halbraum $\varepsilon Q^+$ und $\varepsilon Q^-$.
Lösung von Zusatzaufgabe 8.1_S

Zusatzaufgabe 8.2

Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises. (Kreis sei bereits definiert.)
Lösung von Zusatzaufgabe 8.2_S

Zusatzaufgabe 8.3

Beweisen Sie: Halbebenen sind konvexe Punktmengen.
Lösung von Zusatzaufgabe 8.3_S

z.z. offene HE sind konvexe Punktmengen Vor: offene HE gP⁺ Beh: gP⁺

direkter Beweis:

(1) Q sei ein beliebiger weiterer Pkt, der mit P in der offenen Halbebene gP⁺ liegt

(2) Es gilt dann: Strecke QP geschnitten mit g = {}; Begründung: Def. Halbebene

(3) dann muss folglich für die Punktmenge R Element der Strecke QP gelten, dass diese mit g geschnitten auch = {}; Begründung: (2)

(4) Alle Punkte auf der Strecke QP gehören zur offenen Halbebene gP⁺; Begründung: (3)

(5) gP⁺ ist konvex; Begrüundung: (4)

q.e.d.

Es müssten jedoch noch weitere 2 Fälle betrachtet werden:

1. Dass die 2 Punkte A und B der Punktmenge auf der Trägergerade g liegen -> Strecke AB liegt vollständig in g und gehört somit auch zur HE gP⁺.

2. Dass ein Punkt A auf der Trägergeraden g liegt und ein Punkt B jedoch in der offenen HE gP⁺ liegt. -> Hierzu teilen wir die Strecke AB in die Strecke AB ohne A und dem Punkt A auf. Die Strecke AB ohne A hat keinen Schnittpunkt mit g und A gehört zu g und somit auch zur HE gP⁺--Sissy66 00:09, 18. Jun. 2012 (CEST)

Zusatzaufgabe 8.4

Seien $A, B$ und $Q$ drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte $\operatorname{nkoll}(A, B, Q)$. Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
$A, B \in \ gQ^{+} \setminus g \Rightarrow \overline{AB} \cap g = \emptyset$.
Lösung von Zusatzaufgabe 8.4_S