Lösung von Aufgabe 10.3P (SoSe 12)

Beweisen Sie mit abbildungsgeometrischen Mitteln die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.

Darf man die Kongruenzsätze WSW, SSS und so weiter benutzen?--Zitrone 12:34, 24. Jun. 2012 (CEST)
Nein, diese werden wir erst später beweisen und dafür dann vielleicht auf auf diese Sätze zurückgreifen.--Tutorin Anne 19:36, 28. Jun. 2012 (CEST)

ich fang mal mit einem bild an, bei dem die punkte a, b, c beweglich sind:

--Studentin 02:42, 29. Jun. 2012 (CEST)

basiswinkelsatz:
in jedem gleichschenkligen dreieck sind die basiswinkel kongruent zueinander.

umkehrung:
wenn in einem dreieck zwei winkel kongruent zueinander sind, dann handelt es sich um ein gleichschenkliges dreieck

voraussetzung:dreieck hat zwei zueinander kongruente winkeln
behauptung: dreieck ist gleichschenklig

gegeben sei
ein dreieck a, b, c mit zwei kongruenten winkeln alpha und beta,
die mittelsenkrechte m zu (von?) ab und
der schnittpunkt s mit s element von ab und s element von m.

ziel ist es zu zeigen, dass c element von m ist, da denn laut mittelsenkrechtenkriterium |ac| = |bc|

bei einem indirekten beweis beginne ich mit der annahme, dass |ac| ungleich |bc| sei, c also laut mittelsenkrechtenkriterium nicht auf m läge.
den schnittpunktes von m mit der strecke ac (bzw. der strecke bc - abhängig davon auf welcher halbebenen bezüglich der mittelsenkrechten m der punkt c liegt) nenne ich d.
der abstand des schnittpunktes d zu a und zu b ist gleich groß (wieder mittelsenkrechtenkriterium).
da stellen sich mir zwei fragen:
1.wir wissen wahrscheinlich aber auch noch nichts über die längen der seiten in einem dreieck bzg. ihrer gegenüberliegenden winkel, richtig?
2. darf ich den basiswinkelsatz nutzen, um die umkehrung zu beweisen?

bis zur beantwortung versuch ich es mal ohne annahme in einem direkten beweis:

ich weiß, dass folgende spiegelungen gelten:
sm(a)=b und sm(b)=a, da |as|=|bs| und m senkrecht zu ab (def mittelsenkrechte und def geradenspiegelung).
desweiteren sind die winkel alpha und beta kongruent (voraussetzung)
ich weiss nicht richtig, wie ich die halbgeraden ac+ und bc+ auf andere art benennen kann, ohne dass das "c" im namen auftaucht, da ich den punkt c noch nicht brauche. also zum beispiel die halbgerade, die in a beginnt und im winkel alpha zu ab steht (das wäre dann die halbgerade ac+)
kann ich jetzt nicht mit der winkeltreue argumentieren, dass die spiegelung der halbgeraden ac+ an m kongruent zu bc+ sein muss und umgekehrt?
denn wenn ich das könnte, wären der schnittpunkt der beiden halbgeraden auf der mittelhalbierenden (def geradenspiegelung), und dieser schnittpunkt ist punkt c. da abstände in der geradenspiegelung erhalten bleiben, ist |ac|=|bc|--Studentin 08:34, 29. Jun. 2012 (CEST)

Hier mein Vorschlag:

Voraussetzung: in einem Dreieck sind zwei Winkel kongruent zueinander; <MAC ist kongruent zu <MBC und m ist Spiegelgerade Sm
Behauptung: Dreieck ist gleichschenklig -> |AC| = |BC|

Beweisschritt	Begründung
(1) BM = Sm (von Strecke AM)	Vor., Geradenspiegelung
(2) B=Sm(A)	Geradenspiegelung
(3) C ist Element von m mit m ist Mittelsenkrechte von Strecke AB	Vor., Mittelsenkrechtenkriterium
AC| = |BC|	Mittelsenkrechtenkriterium

Ist das so in Ordnung? Und, darf ich bei (3) einfach annehmen, dass C Element von m ist? --Fahrtwind 18:18, 30. Jun. 2012 (CEST)