Lösung von Aufgabe 6.3

Satz:

Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

1. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
2. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
3. Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:

Beweis

Es seien $\ A, B, C$ und $\ D$ drei Punkte, die nicht komplanar sind.

zu zeigen

...

Annahme:

Es gibt drei der Punkte vier Punkte $\ A, B, C, D$, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

1. Wenn es vier Punkte gibt, bei denen mehr als eine Ebene aufgespannt werden, so befinden sich je drei Punkte nicht auf ein und derselben Geraden.

1. Bei vier zueinander nicht komplanaren Punkten gibt es immer drei nicht kollineare Punkte.

1. ...

Beweis

Voraussetzung:

Es seien A, B, C, D vier Punkte, mit nkomp(A,B,C,D)

Behauptung:

Je drei von den Punkten sind nicht kollinear

Annahme:

Es gibt drei der vier Punkte, die kollinear sind. Es mögen diese o.B.d.A. die Punkte A,B und C sein.

Beweis:

Beweisschritt	Begründung
1) A,B,C Element von g 2)D nicht Element von g 3) Es Existiert eine Ebene E mit A,B,D 4)komp(A,B,D) 5)Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen. analog A,C,D und B,C,D	1)koll(A,B,C) 2)nkoll(A,B,D) o.B.d.A. 3) Axiom I/4 4)Definition komplanar und 3)

--Skellig 22:17, 1. Jun. 2010 (UTC)

Hier noch ein Versuch, das ganze grafisch darzustellen. Sobald drei Punkte kollinear sind, gibt es nur noch eine Ebene, nämlich die mit der jeweiligen Gerade (auf der die drei kollinearen Punkte liegen) und der vierte Punkt. Man muss sich die Grafik dreidimensional vorstellen, deswegen wurden auch Farben gewählt, die an sich gegen die Genfer Konvention verstoßen. Der Punkt D (o.B.d.A.) "schwebt" über der Ebene $\Epsilon$.
--Heinzvaneugen

Beweis der Kontraposition

Ich versuche zu beweisen, dass gilt: $\operatorname{koll}(A,B,C,D) \Rightarrow \operatorname{komp}(A,B,C,D)$
Das ist ja die Kontraposition zu der Aussage: Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, dann sind je drei davon nicht kollinear.

1.Fall: $\operatorname{koll}(A,B,C,D)$

Schritt	Begründung
1)$\operatorname{koll}(A,B,C,D)$	Voraussetzung
2)Es gibt genau eine Gerade $\ g$ mit $A,B,C,D \in g$	(1)
3)Es gibt eine Ebene $\ E$ mit $A,B \in E$	Satz I/7
4)$A,B \in g \land A,B, \in E$	(2),(3)
5)$\operatorname{komp}(A,B,C,D)$	(4), Axiom I/5

2.Fall: $\operatorname{nkoll}(A,B,C,D)$

Schritt	Begründung
1)$\operatorname{koll}(A,B,C)$	Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A.
2)$\operatorname{nkoll}(A,B,D)$	Voraussetzung, Punktauswahl o.B.d.A.
3)Es gibt genau eine Ebene $\ E$ mit $A,B,D \in E$	(2), Axiom I/4
4)$C \in E$	(1),(3), Axiom I/5
5)$(A,B,C,D) \in E$	(3),(4)
6)$\operatorname{komp}(A,B,C,D)$	(5)

vgl. Diskussion:Lösung von Aufgabe 6‎ (aus Woche 5)