Lösung von Aufgabe 7.3 S (SoSe 12)

Lösungsvorschlag:

Satz: Sind zwei Punktmengen konvex, dann ist auch ihr Durchschnitt konvex.
Beweis: ?
Kontraposition: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen nicht konvex, so sind die beiden Punktmengen auch nicht konvex.
Umkehrung des Satzes: Ist der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex, dann sind die beiden Punktmengen konvex.
Widerlegung der Umkehrung durch eine Skizze: --RitterSport 19:52, 9. Jun. 2012 (CEST)

--KeinKurpfälzer 16:25, 11. Jun. 2012 (CEST)

--KeinKurpfälzer 17:35, 11. Jun. 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag Nemo81

a)

Vor: 2 konvexe Punktmengen
1. $\overline {AB}$ ist echte Teilmenge von $M_1$
2. $\overline {AB}$ ist echte Teilmenge von $M_2$

Beh: Ihr Schnitt ist konvex $M_1$ geschnitten $M_2$ = konvex, d.h. $\overline {AB}$ ist echte Teilmenge von $M_1$ und $M_2$

Ann: Es existiert ein Punkt P: P $\in$ $\overline {AB}$ und P $\not\in M_2$ .

Es kann solch einen Punkt nicht geben, weil laut Vor: Die $\overline {AB}$ echte Teilmenge von $M_1$ aber auch von $M_2$ ist(und laut Def. konvex) Also Widerspruch zur Vorraussetzung. q.e.d --Nemo81 17:57, 14. Jun. 2012 (CEST)

b)Wenn der Durchschnitt von zwei Punktmengen nicht konvex ist, dann sind die Punktmengen nicht konvex.

c)Wenn der Durchschnitt zweier Punktmengen konvex ist, dann sind die zwei Punktmengen auch konvex. --Nemo81 18:15, 14. Jun. 2012 (CEST)