Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 12)

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

Zwei Winkel <(p,q) und <(r,s) heißen Stufenwinkel,... (ergänzen Sie)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

Zwei Winkel <(p, q) und <(r, s) heißen Wechselwinkel,...(ergänzen Sie)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

Zwei Winkel $\angle p,q$ und $\angle r,s$ sind entgegengesetzt liegende Winkel,...(ergänzen Sie)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a$ und $\ b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $\ c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\ \alpha$ und $\ \beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $\ c$ mit $\ a$ und $\ b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\ \alpha$ und $\ \beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $\ a$ und $\ b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $\ a, b$ und $\ c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $\ c$ möge $\ a$ in dem Punkt$\ A$ und die Gerade $\ b$ in dem Punkt $\ B$ schneiden. $\ \alpha$ und $\ \beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von $\ a$ und $\ b$ mit $\ c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\ \alpha \tilde {=}\beta$

Behauptung:

$\ a \parallel b$

Annahme:

$a\not\parallel b$

Den Rest können Sie selbst!