Serie 03 12 13

Aufgabe 3.1

Astroiden sind spezielle Hypozykloiden:

(a) Was muss für $R$ (Radius des großen, festen Kreises), $r$ (Radius des abrollenden kleinen Kreises) und $d$ (Abstand des beschreibenden Punktes zum Mittelpunkt $M_k$ des abrollenden Kreises) gelten, damit eine Astroide entsteht?

(b) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, auf der sich $M_k$ der Mittelpunkt des abrollden Kreises bewegt. Verwenden Sie als Parameter den Winkel $\varphi$, dessen Schenkel die positive $x-$Achse und der Strahl $MM_k^+$ sind.

(c) Wir stellen uns vor, dass mit dem abrollenden Kreis ein kartesisches Koordinatensystem $KS'$derart mitgeführt wird, dass die Achsen von $KS'$ immer parallel zu den entsprechenden Achsen des globalen Koordinatensystems sind. Der Ursprung von $KS'$ sei $M_k$:

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Kurve an, die der Punkt $P$ bezüglich $KS'$ beschreibt. Verwenden Sie als Parameter die Bogenlänge $\psi$die der kleine Kreis auf dem großen Kreis abgerollt ist.

(d) Drücken Sie $\psi$ mittels $\varphi$ aus.