Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

Definition Definition (lineare Abbildung) Es seien $\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)$ und $\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)$ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ heißt lineare Abbildung wenn gilt: $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:$ (H) $\varphi$ ist homogen: $\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)$ (A) $\varphi$ ist additiv: $\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)$ Beispiele senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene $\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ $\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Man beweise: $\varphi$ ist lineare Abbildung Drehung Drehung der kanonischen Basisvektoren $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}$ $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehungsmatrix: $\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Geradenspiegelung Zentrische Streckung Isomorphe Vektorräume Definition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.