Lineare Abbildungen, Vektorraumisomorphismus 2012 13

Definition Definition (lineare Abbildung) Es seien $\left(V_1, \oplus, \mathbb{R}, \cdot\right)$ und $\left(V_2, \otimes, \mathbb{R}, \odot\right)$ zwei Vektorräume über der Körper der reellen Zahlen. Eine Abbildung $\varphi: V_1 \rightarrow V_2$ heißt lineare Abbildung wenn gilt: $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V_1 \wedge \forall a \in \mathbb{R}:$ (H) $\varphi$ ist homogen: $\varphi\left(a \cdot \vec{u} \right) = a \odot \varphi\left(\vec{u}\right)$ (A) $\varphi$ ist additiv: $\varphi\left(\vec{u} \oplus \vec{v} \right)= \varphi \left(\vec{u}\right) \otimes \varphi \left(\vec{v}\right)$ Beispiele senkrechte Parallelprojektion auf die x-y-Ebene $\varphi: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ $\forall \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}: \varphi \left( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ Man beweise: $\varphi$ ist lineare Abbildung Drehung Drehungen um den Ursprung des Koordinatensystems <u>Drehung der kanonischen Basisvektoren $\vec{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{i}) = \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix}$ $\vec{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow \varphi( \vec{j}) =\begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehung anderer Vektoren: $\vec{x} \rightarrow \varphi( \vec{x} )$ $\vec{x} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{x}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ Bsp.: $\vec{OP} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix}$ wird an O um $\alpha$ gedreht. $\vec{OP} = \lambda \vec{i} + \mu \vec{j} \rightarrow \varphi( \vec{OP'}) = \varphi ( \lambda \vec{i}) + \varphi( \mu \vec{j}) = \lambda \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} cos \alpha \\ sin \alpha \end{pmatrix} + 0,5 \cdot \begin{pmatrix} -sin \alpha \\ cos \alpha \end{pmatrix}$ $\vec{OP'} = \begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0,5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2cos \alpha -0,5sin \alpha\\ 2sin \alpha + 0,5cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehungsmatrix: $\begin{pmatrix} cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot cos \alpha -y \cdot sin \alpha\\ x \cdot sin \alpha + y \cdot cos \alpha \end{pmatrix}$ Drehung als lineare Abbildung: Behauptung: $\varphi$ ist eine lineare Abbildung. Zu zeigen: (H) $\varphi$ ist homomorph (A) $\varphi$ ist additiv Geradenspiegelung Zentrische Streckung Isomorphe Vektorräume Definition Zwei Vektorräume sind isomorph zu einander, wenn sie durch eine bijektive lineare Abbildung aufeinander abgebildet werden können.