Serie 06 12 13

Aufgabe 6.1

Zeigen Sie, dass die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$ und $\vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix}$ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 6.2

Sei V ein reeler Vektorraum und $a,b,c,d, e \in V$. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
$v_1=a+b+c$, $v_2=2a+2b+2c-d$, $v_3=a-b-e$, $v_4=5a+6b-c+d+e$, $v_5=a-c+3e$, $v_6=a+b+d+e$

Aufgabe 6.3

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}$
b)$\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}$

Aufgabe 6.4

Bestimmen Sie die Koordinaten des Vekotrs $\vec{v}= \begin{pmatrix} 19 \\ 5 \\ -17 \end{pmatrix}$ bezüglich der Basis $B=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\}$