Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 13 P)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

• Dies ist kein korrekter Beweis, da hier nicht auf die Kontraposition eingegangen wird.--Nolessonlearned 12:46, 6. Mai 2013 (CEST)
  

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

• Hierbei handelt es sich um einen korrekten Beweis, da hier ausführlich auf die Kontraposition eingegangen wird.--Nolessonlearned 12:48, 6. Mai 2013 (CEST)
  

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Ein Versuch:
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|

1. ∣α∣ = ∣β∣ (Behauptung)
2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Basiswinkelsatz)
3. ∣AC∣ < ∣BC∣ (Voraussetzung)
4. ∣AC∣ = ∣BC∣ (2.)
Widerspruch zur Voraussetzung. Annahme ist zu verwerfen.
q.e.d. --Nolessonlearned 17:29, 6. Mai 2013 (CEST)