Lösung von Aufgabe 3.2 (SoSe 13 P)

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Satz: In einem Dreieck \overline{ABC} mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei \overline{ABC} ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

  • Dies ist kein korrekter Beweis, da hier nicht auf die Kontraposition eingegangen wird.--Nolessonlearned 12:46, 6. Mai 2013 (CEST)
    • Warum sollte man auf die Kontraposition eingehen?--Tutorin Anne 19:14, 8. Mai 2013 (CEST)
      • Hast recht. Bei genauer Betrachtung hat dieser Beweis nichts mit einer Kontraposition zu tun.--Nolessonlearned 21:47, 8. Mai 2013 (CEST)
        • Ich glaube der Beweis ist korrekt, allerding muss der Basiswinkelsatz bewiesen sein.--Regenschirm 12:13, 11. Mai 2013 (CEST)
          • Der Basiswinkelsatz darf genutzt werden. Allerdings muss dafür aus der Voraussetzung des Basiswinkelsatzes abgeleitet werden. Diese ist: |AC|=|BC| (oder eben zwei gleichlange Seiten in einem Dreieck). Auf etwas anderes darf man sich nicht beziehen und erst recht nicht auf das Gegenteil.Nolessonlearned lass dich nicht so schnell vom richtigen Weg abbringen - aber begründe deine Antwort noch besser! --Tutorin Anne 21:38, 11. Mai 2013 (CEST)

Beweis 2) Sei \overline{ABC} ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

  • Hierbei handelt es sich um einen korrekten Beweis, da hier ausführlich auf die Kontraposition eingegangen wird.--Nolessonlearned 12:48, 6. Mai 2013 (CEST)

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Ein Versuch:
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|

1. ∣α∣ = ∣β∣ (Annahme)
2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Basiswinkelsatz)
3. ∣AC∣ < ∣BC∣ (Voraussetzung)
4. ∣AC∣ = ∣BC∣ (2.)
Widerspruch zur Voraussetzung. Annahme ist zu verwerfen.
q.e.d. --Nolessonlearned 17:29, 6. Mai 2013 (CEST)

  • Der Beweis stimmt so noch nicht. Welcher Schritt ist nicht korrekt. Welchen Schritt kann man sich sparen?--Tutorin Anne 19:14, 8. Mai 2013 (CEST)
    • Schritt 4. ist unnötig und in Schritt 2. muss die Begründung "Umkehrung des Basiswinkelsatzes" lauten.--Nolessonlearned 21:39, 8. Mai 2013 (CEST)
      • Richtig. Schritt 3 kannst du dir auch sparen.--Tutorin Anne 21:38, 11. Mai 2013 (CEST)

Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Annahme: |α| = |β|

1. ∣α∣ = ∣β∣ (Annahme)
2. ∣α∣ = ∣β∣ ⇒ ∣AC∣ = ∣BC∣ (Umkehrung des Basiswinkelsatzes)
besser: 2. ∣AC∣ = ∣BC∣ (Umkehrung des Basiswinkelsatzes, Schritt 1)
Widerspruch zur Voraussetzung. Annahme ist zu verwerfen.
q.e.d
--Nolessonlearned 12:31, 13. Mai 2013 (CEST)
OK. Ich habe Schritt 2 etwas abgeändert. Sonst passt der Beweis aber!--Tutorin Anne 10:13, 23. Mai 2013 (CEST)

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