Lösung von Aufgabe 11.7

Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Versuch 1:

VSS: Punkt P, $\overline{AB}$, $|AP| = |BP|$, Mittelsenkrechte m
Beh: $P \in m$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$|AP| = |BP|$	(VSS)
(II)	es existiert ein Punkt $M : |AM| = |BM|$	(Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt)
(III)	$\alpha \cong \beta$	Basiswinkelsatz
(IV)	$\overline {PAM} \cong \overline {PBM}$	(I), (II), (III), (SWS)
(V)	$| \angle AMP| = | \angle BMP|$	(Def Dreieckskongruenz) (IV)
(VI)	$PM = m$	(Axiom I.1), (II), (V)

--> $P \in m$, die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)

Versuch 2:

VSS: Punkt P, $\overline{AB}$, $|AP| = |BP|$, Mittelsenkrechte m
(für die gilt laut Definition: senkrecht zu $\overline{AB}$ und geht durch $M \in \overline{AB}$ für das gilt: $|MA| = |MB|$ Beh: $P \notin m$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Das Dreieck $\overline{ABP}$ ist ein gleichschenkliges	(Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS $|AP| = |BP|$)
(II)	$\alpha \cong \beta$	Basiswinkelsatz
(III)	Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels $\angle APB$	Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
(IV)	Die Winkelhalbierende w und die Strecke $\overline {AB}$ schneiden sich in $S$, der	... (Skizze? Reicht das als Begründung?)
(VI)	$\overline{APS} \cong \overline{BPS}$	SWS: $\overline{AP}\cong \overline{BP}$ (VSS) $\overline{PS}\cong \overline{PS}$ (trivial) $\delta_1 \cong \delta_2$