Lösung von Aufgabe 11.7
Beweisen Sie Satz VII.6a:
Wenn ein Punkt zu den Endpunkten der Strecke
jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von
.
Versuch 1:
VSS: Punkt P, ,
, Mittelsenkrechte m
Beh:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
(VSS) |
(II) | es existiert ein Punkt ![]() |
(Existenz und Eindeutigkeit Mittelpunkt) |
(III) | ![]() |
Basiswinkelsatz |
(IV) | ![]() |
(I), (II), (III), (SWS) |
(V) | ![]() |
(Def Dreieckskongruenz) (IV) |
(VI) | ![]() |
(Axiom I.1), (II), (V) |
--> , die Behauptung ist wahr.
qed --Löwenzahn 13:52, 4. Jul. 2010 (UTC)
Versuch 2:
VSS:
- Punkt P, Strecke
, es gilt
- Mittelsenkrechte m; für die gilt laut Definition: senkrecht zu
und geht durch
und es gilt:
Behauptung:
Annahme (indirekter Beweis):
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | Das Dreieck ![]() |
Definition gleichschenkliges Dreieck, da laut VSS ![]() |
(II) | ![]() |
Basiswinkelsatz |
(III) | Es existiert eine Winkelhalbierende w des winkels ![]() |
Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden): Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende. |
(IV) | Die Winkelhalbierende w und die Strecke ![]() ![]() |
... (Skizze? Reicht das als Begründung?) |
(VI) | ![]() |
SWS: ![]() ![]() ![]() |
(VII) | ![]() |
Dreieckskongruenz: (VI) |
(VIII) | ![]() |
(VII), Existenz und Eindeutigkeit eines Mittelpunktes, da laut (VSS) gilt: ![]() |
(IX) | ![]() |
Dreieckskongruenz: (VI), kongruente Nebenwinkel sind rechte Winkel |
(X) | ![]() |
(VIII), (IX), (III), (VSS) |
Einige Schritte sind zum besseren Verständnis in kleinste Einheiten aufgeteilt, deswegen sind es letztlich 10 Beweisschritte. Die Grundidee ist simpel: mit der Winkelhalbierenden erzeugt man zwei kongruente Dreiecke. Analog zur Lösung 1, wo der Knackpunkt der Mittelpunkt der Basis (gleichschenkliges Dreieck) ist, läuft der Beweis ab der Winkelhalbierenden "automatisch" durch.
--Heinzvaneugen 12:19, 10. Jul. 2010 (UTC)