Was ist eine Gruppe? SoSe 2017

Beispiele für Gruppen endliche Gruppen Die Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks Die Gruppe der Deckabbildungen der Raute unendliche Gruppen Gebrochene Zahlen: $[\mathbb{Q}^+, \cdot ]$ Ganze Zahlen: $[\mathbb{Z}, +]$ Gegenbeispiele für Gruppen Gruppendefinitionen Die "übliche" Gruppendefinition (lange Version) Definition Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: a \odot e = e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a \odot a^{-1} = a^{-1} \odot a = e$. Die "übliche" Gruppendefinition (kurze Version) Definition Es sei $G$ eine nichtleere Menge auf der eine Verknüpfung $\odot$. Wenn die folgenden Axiome erfüllt sind, heißt die Struktur $\mathbb{G}:=[G, \odot ]$ Gruppe: $\odot$ ist auf $G$ abgeschlossen: $\forall a,b \in G: a \odot b \in G$ $\odot$ ist assoziativ auf $G$: $\forall a, b, c \in G: (a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$ Bezüglich $\odot$ existiert in $G$ ein ("universelles") Einslement $e$: $\exist e \in G \forall a \in G: e \odot a= a$. Bezüglich $\odot$ existiert zu jedem $a$ aus $G$ ein ("persönliches") inverses Element $a^{-1}$: $\forall a \in G \exist a^{-1} \in G: a^{-1} \odot a = e$. Das Linkseinslement ist auch Rechtseinslement Die lange Version der Gruppendefinition fordert, dass wenn das Einselement $e$ sowohl rechtsseitig als auch linksseitig multipliziert mit einem beliebigen Gruppenelement $a$ multipliziert eben dieses Element $a$ das Ergebnis dieser Multiplikation ist. Die kurze Version der Gruppendefinition fordert nur die Existenz eines linksseitigen Einslementes. In der Tat ist die Korrektheit der Gruppendefinition gewährleistet, wenn die Existenz des Einselementes nur linksseitig (oder rechtsseitig) gefordert wird. Gleiches gilt für die Forderung nach der Existenz linksseitiger bzw. rechtsseitiger inverser Elemente.