Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes
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Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel
In welchen Fällen handelt es sich um....
- Stufenwinkel
- Wechselwinkel
- entgegengesetzt liegende Winkel?
Definition X.1: (Stufenwinkel)
Definition X.2: (Wechselwinkel)
Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)
Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes
Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
- Es seien
und
zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade
jeweils geschnitten werden. Es seien ferner
und
zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von
mit
und
entstehen mögen.
- Wenn die beiden Stufenwinkel
und
kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden
und
parallel zueinander.
- Es seien
Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)
Es seien und
drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade
möge
in dem Punkt
und die Gerade
in dem Punkt
schneiden.
und
sei ein Paar von Stufenwinkeln , welches bei dem Schnitt von
und
mit
entstehen möge.
Voraussetzung:
(i)
Behauptung:
Annahme:
Unter Berücksichtigung von hätten die beiden Geraden
und
entsprechend der Annahme genau einen Punkt
gemeinsam.
Bezüglich des Dreiecks ist
nun ein Außenwinkel.
Der Winkel ist bezüglich
ein nichtanliegender Innenwinkel des Dreiecks
.
Nach dem schwachen Außenwinkelsatz ist jetzt größer als
. Das ist allerdings ein Widerspruch zu (i):
.