Lösung von Aufgabe 12.6

Beweisen Sie: Wenn $\ P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $\ g$ ist, dann gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parellel zu $\ g$ ist.

Versuch 1

VSS: Punkt $\ P$, Gerade $\ g$, $P \not \in g$
Beh: Gerade $\ h$, $P \in h$, $g \| h$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exist Q: Q \in g$, $\exist R: R \in g$	(Axiom I.0)
(II)	Gerade $\ PQ$	(Axiom I.1)
(III)	das Maß von $| \angle PQR| = \alpha$ im Punkt $\ P$ an Gerade $\ PQ$ in der Halbebene $\ {PQ,R^{+}}$ abtragen. Es exisitert genau ein $\ {PS^{+}}$ mit dem Maß $\ |\alpha{'}| = | \alpha|$	(Winkelkonstruktionsaxiom), (Winkelmaßaxiom), (I), (II)
(IV)	$\ \alpha' , \alpha$ sind Stufenwinkel	(III), (Def. Stufenwinkel)
(V)	$\ PS$ = $\ h$	(Axiom I.1)
(V)	$\ g \| h$	(Umkehrung Stufenwinkelsatz), (IV), (V)

--> Beh ist wahr.
--Löwenzahn 11:07, 14. Jul. 2010 (UTC)

Mal wieder formlos: folgender Vorschlag:

Zu beweisen sind Existenz und Eindeutigkeit.
Die Gerade h, die durch den Punkt P geht kann sich zu g auf drei Arten verhalten:

1. Fall: ist identisch => Widerspruch zur Voraussetzung
2. Fall: schneidet h
3. Fall: ist parallel zu h, also schnittpunktfrei

Fall 2 und 3 sind laut Vor. möglich, also existiert auf jeden Fall eine parallele Gerade.
Die Eindeutigkeit beweise ich indirekt.
Annahme: Es gibt genau zwei Parallelen durch P, die zu g parallel stehen, nämlich h und i, die nicht identisch sind.
(1) P ist sowohl Element von h, als auch von i. Die Geraden h und i sind damit identisch (Widerspruch Annahme) oder P ist ihr Schnittpunkt. Damit sind i und h aber nicht zueinander parallel (da nicht schnittpunktfrei). Parallelität ist transitiv. Wenn h und i nicht parallel sind, dann gilt entweder h parallel zu g oder i parallel zu g. Damit gibt es wieder nur eine Gerade durch P, die zu g parallel ist und nicht zwei. --Nicola 15:49, 14. Jul. 2010 (UTC)