Lösung von Aufg. 7.9
Lösung --Schnirch 14:05, 9. Dez. 2010 (UTC)
Satz in wenn-dann:
- Wenn drei paarweise verschiedene Punkte
und
kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.
- Wenn drei paarweise verschiedene Punkte
Beweis
Es seien also und
drei Punkte.
Voraussetzungen:
koll( und
)
Behauptung
- es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen:
oder
oder
- es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen:
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
Voraussetzung |
(II) | es gilt eine der drei Gleichungen:
|
(I), Axiom II/3 |
(III) | ![]() ![]() ![]() |
(II), Def (Zwischenrelation) |
(IV) | zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen
| |
(V) | ![]()
|
(IV), (Axiom II/3) |
(VI) | ![]()
|
rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2) |
(VII) | ![]() |
(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen |
(VIII) | ![]() |
(VII), + ![]() |
(IX) | ![]() |
(VIII), - ![]() |
(X) | Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind.
|
vorangegangene Diskussion bzw. Lösungsvorschläge
Satz:
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
und
ein und derselben Geraden
liegt genau einer zwischen den beiden anderen.
- Von drei paarweise verschiedenen Punkten
Beweisen Sie diesen Satz.
Vor: A ungleich B ungleich C ungleich A, koll(A,B,C)
Behauptung: Zw(A,B,C) oder Zw(A,C,B) oder Zw (B,A,C)
Annahme: o.B.d.A Zw(A,B,C) und Zw(A,C,B)
1) /AB/+/BC/=/AC/ und /AC/+/CB/=/AB/___________________laut Annahme und Axiom A/3
2) /AB/+/BC/+/CB/=/AB/_____________________________Rechnen in R und 1)
3) /AB/+/BC/+/BC/=/AB/____________________________Axiom A/2 und 2)
4) 2/BC/ =O_________________________________Rechnen in R und 3)
5) B=C___________________________________4)
6) Widerspruch zur Vor.
7) Annahme ist zu verwerfen
8) Behauptung stimmt--Engel82 00:03, 25. Nov. 2010 (UTC)