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Inhaltsverzeichnis |
Der Basiswinkelsatz
Gleichschenklige Dreiecke
Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)
Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.
Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.
Schenkel: Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.
Basis: Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
Basiswinkel: Der Winkel, bei welchem die Basis eine Teilmenge bildet nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.--Nightfall 12:20, 10. Jan. 2011 (UTC)
Übungsaufgabe
Der Basiswinkelsatz
Satz VII.5: Basiswinkelsatz
- In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.
Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen
Es sei ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten
und
kongruent zueinander:
Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt der Dreiecksseite
.
Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke und
kongruent zueinander sind:
Nachweis von :
Nr. | Skizze | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|---|
(1) | ![]() |
![]() |
Voraussetzung |
(2) | ![]() |
![]() |
![]() ![]() |
(3) | ![]() |
![]() |
trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation) |
(4) | ![]() |
![]() |
(1), (2), (3), SSS |
Wegen (4) gilt nun auch .
w.z.b.w.
Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?
Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes
Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.
Lemma 1
- Die Winkelhalbierende
eines Winkels
schneidet die Strecke
in genau einem Punkt
.
- Die Winkelhalbierende
Beweis von Lemma 1
später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.
Beweis des Basiswinkelsatzes
Das Mittelsenkrechtenkriterium
Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)
- Eine Menge
von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke
, wenn für jeden Punkt
gilt:
.
- Eine Menge
Bezug zur Schule:
Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke mittels Zirkel und Lineal:
Konstruktionsvorschrift:
gegeben: Strecke
gesucht: , die Mittelsenkrechte von
Schrittnr. | Konstruktionsschritt |
---|---|
1. | Zeichne einen Kreis um ![]() ![]() ![]() |
2. | Behalte ![]() ![]() |
3. | Der Kreis um ![]() ![]() ![]() ![]() |
4. | Zeichne die Gerade ![]() ![]() |
Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist wirklich die Mittelsenkrechte von
?
Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:
Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von
gehört.)
- Wenn ein Punkt
zu den Endpunkten der Strecke
jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von
.
- Wenn ein Punkt
Beweis von Satz VII.6 a
Übungsaufgabe (Das Video hilft)
Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte und
Punkte der Mittelsenkrechten von
sind.
Die Wahl des Radius der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für
. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.
Die Frage anders formuliert:
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von zu den Punkten
und
jeweils ein und denselben Abstand?
Noch anders formuliert:
Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke notwendigerweise zu
und zu
ein und denselben Abstand?
Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:
Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von
gehört)
- Wenn ein Punkt
zur Mittelsenkrechten der Strecke
gehört, dann hat er zu den Punkten
und
ein und denselben Abstand.
- Wenn ein Punkt
Übungsaufgabe