Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (WS10/11)

Der Basiswinkelsatz

Gleichschenklige Dreiecke

Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck)

Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck bei dem zwei Seiten zueinander kongruent sind.
Schenkel: Ein Schenkel ist eine der kongruenten Seiten des gleichschenkligen Dreiecks.
Basis: Die dritte Seite nennt man Basis des gleichschenkligen Dreiecks.
Basiswinkel: Der Winkel, der die Basis als Teilmenge hat nennt man Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks.--Nightfall 12:20, 10. Jan. 2011 (UTC)

Übungsaufgabe

Der Basiswinkelsatz

Satz VII.5: Basiswinkelsatz

In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander.

Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten $\ a$ und $\ b$ kongruent zueinander:

Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt $\ M$ der Dreiecksseite $\ c$.

Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke $\overline{AMC}$ und $\overline{BMC}$ kongruent zueinander sind:

Nachweis von $\overline{AMC} \cong \overline{BMC}$:

Nr.	Skizze	Beweisschritt	Begründung
(1)		$\ a \cong \ b$	Voraussetzung
(2)		$\overline{AM} \cong \overline{MB}$	$\ M$ ist Mittelpunkt von $\ c$
(3)		$\overline{MC} \cong \overline{MC}$	trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation)
(4)		$\overline{AMC} \cong \overline{BMC}$	(1), (2), (3), SSS

Wegen (4) gilt nun auch $\alpha \cong \beta$.

w.z.b.w.

Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum?

Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes

Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus.

Lemma 1

Die Winkelhalbierende $\ SW^+$ eines Winkels $\ \angle ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $\ P$.

Beweis von Lemma 1

später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig.

Das Mittelsenkrechtenkriterium

Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Eine Menge $\ M$ von Punkten ist genau dann die Mittelsenkrechte einer Strecke $\ \overline{AB}$, wenn für jeden Punkt $\ P \in\ M$ gilt: $\overline{AP} \cong \overline{BP}$.

Bezug zur Schule: Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal:

Konstruktionsvorschrift:

gegeben: Strecke $\overline{AB}$

gesucht: $\ m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Schrittnr.	Konstruktionsschritt
1.	Zeichne einen Kreis um $\ A$, dessen Radius $\ r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist.
2.	Behalte $\ r$ bei und zeichne einen Kreis um $\ B$.
3.	Der Kreis um $\ A$ schneidet den Kreis um $\ B$ in den beiden Schnittpunkten $\ S_1$ und $\ S_2$.
4.	Zeichne die Gerade $\ S_1S_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$.

Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $\ S_1S_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$?

Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen:

Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.)

Wenn ein Punkt $\ P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

Beweis von Satz VII.6 a

Übungsaufgabe (Das Video hilft)

Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $\ S_1$ und $\ S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind.

Die Wahl des Radius $\ r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $\ | r | > \frac{1}{2} | \overline{AB} |$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten.

Die Frage anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ jeweils ein und denselben Abstand?

Noch anders formuliert:

Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $\ A$ und zu $\ B$ ein und denselben Abstand?

Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv:

Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Übungsaufgabe