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Inhaltsverzeichnis |
Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende
Mittelsenkrechte
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
- Es sei eine Gerade und eine Strecke, die durch im Punkt geschnitten wird. ist die Mittelsenkrechte von , wenn
Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)
- Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.
Beweis von Satz VI.1
Es sei eine Strecke, die vollständig zur Ebene gehören möge.
Behauptungen:
- Es gibt in Gerade , die die Mittelsenkrechte von ist.
- Es gibt in nicht mehr als eine Gerade , die die Mittelsenkrechte von ist.
Beweis der Existenzbehauptung:
Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt ein, der zur Ebene aber nicht zur Geraden gehören möge.
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(i) | Definition des Mittelpunkts einer Strecke | |
(ii) | Winkelkonstruktionsaxiom | |
(iii) | ist Mittelsenkrechte von | Definition Mittelsenkrechte, Die Mittelsenkrechte schneidet die Strecke im Mittelpunkt und steht senktecht auf dieser Strecke |
Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.
Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung
Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.
Winkelhalbierende
Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.
Definition VI.2
- Es seien , und drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt . Die Halbgerade ist die Winkelhalbierende des Winkels , wenn im Inneren von liegt und die beiden Winkel und dieselbe Größe haben.
Satz VI.
- Es sei die Winkelhalbierende des Winkels . Dann gilt .
Beweis von Satz VI.
Übungsaufgabe
Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)
- Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.
Beweis von Satz VI.2
Übungsaufgabe