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Zentralprojektionen

Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?

Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\ \beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{R}$ und $\ Z$ ein Punkt aus $\mathfrak{R}$ der nicht zu $\ \beta$ gehört.
Die Zentralprojektion $\ ZP_{Z,\beta}$ ist eine Abbildung von $\mathfrak{R}\setminus{Z}$ auf die Ebene $\ \beta$ mit:
$\forall P \in \mathfrak{R}\setminus{Z}: ZP_{Z,\beta}(P)=ZP \cap \beta$

Die Ebene $\ \beta$ heißt Bildebene bei der Zentralprojektion $\ ZP_{Z,\beta}$ und der Punkt $\ Z$ Zentralpunkt der $\ ZP_{Z,\beta}$.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\ \beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{R}$ und $\mathcal{R}$ eine Richtung mit $\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \wedge g \subset \beta$.

Unter der Parallelprojektion des Raumes $\mathfrak{R}$ auf die Bildebene $\ \beta$ mit der Projektionsrichtung $\mathcal{R}$ versteht man die Abbildung von $\mathfrak{R}$ auf $\ \beta$, die jedem Punkt $\ P \in \mathfrak{R}$ derart auf sein Bild $\ P'$ abbildet, dass gilt:

$\left\{ P' \right\}=g \cap \beta$ mit $g \in \mathcal{R} \wedge P \in g$

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei $\ b$ eine Gerade der Ebene $\mathfrak{E}$ und $\mathcal{R}$ eine Richtung in $\mathfrak{E}$ mit $b \not\in \mathcal{R}$.

Unter der Parallelprojektion der Ebene $\mathfrak{E}$ auf die Bildgerade $\ b$ versteht man die Abbildung, die jeden Punkt $\ P \in \mathfrak{E}$ derart auf sein Bild $\ P'$ abbildet, dass gilt:

$\left\{ P' \right\}= g \cap b$ mit $g \in \mathcal{R} \wedge P \in g$.

In Zeichen: $\ PP_{\mathcal{R}, b}$

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $\ b$. Jeder Punkt der Bildgeraden $\ b$ ist bezüglich $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ein Fixpunkt.

Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Es sei $\overline{ABC}$ eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien $M_a$ und $M_b$ die Mittelpunkte der Seiten $a$ bzw. $b$ des Dreiecks $\overline{ABC}$. Dann gilt:

(I) $M_aM_b \|| AB$

(II) $\left|M_aM_b \right| =\frac{\left|AB\right|}{2}$

Satz II.03: Projektionssatz

Es sei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $g$. Die Gerade$a$ möge $g$ in $P_0$ und nur in $P_0$ schneiden. $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$sei eine Folge von Punkten auf $a$ mit $\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|$. $P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n$ seiene die Bilder von $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$ bei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$.

Dann gilt: $\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|$.

Beweisidee

Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.

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" framePossible = "true" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />