Abstände und Parallelität

Vorbemerkung

Abstände spielen eine zentrale Rolle in der Geometrie. Logischerweise kann man die Klausur ohne Kenntnisse zu Abständen nicht bestehen.

Der Abstand zweier paralleler Geraden

Aus der Schule weiß man:

Wenn $g \|| h$, dann hat $g$ überall denselben Abstand zu $h$.

In der Klausur wird der Abstand zweier paralleler Geraden ein Rolle spielen.

Definition: Abstand zweier paralleler Geraden

Es seien $g$ und $h$ zwei nicht identische Geraden mit $g \|| h$. Ferner sei $G$ ein beliebiger Punkt der Geraden $g$. Der Anstand von $g$ zu $h$ ist der Abstand von $G$ zu $h$.

In Zeichen: $|gh|:=|Gh|$

Zum Begriff des Abstandes eines Punktes zu einer Geraden verweisen wir auf: Das_Lot_von_einem_Punkt_auf_eine_Gerade_WS_11/12.

Eine dumme Frage, aber dumme Fragen gibt es bekanntlich nicht. Dürfen wir diese Definition in der Klausur verwenden? (Miramar)

Repräsentantenunabhängigkeit

Die obige Definition macht nur Sinn, Wenn gilt:

Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden mit $g \|| h \wedge g \not \equiv h$.

$G \in g \wedge P \in g \rightarrow |Gh|=|Ph|$.

Beweisen Sie diese Implikation.

Symmetrie

Beweisen Sie:

Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden mit $g \|| h \wedge g \not \equiv h$.

$|gh|=|hg|$.